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27、問題背景:某課外學習小組在一次學習研討中,得到了如下兩個命題:
Ⅰ.如圖①,在正三角形△ABC中,M、N分別是AC、AB上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=60°,則BM=CN.
Ⅱ.如圖②,在正方形ABCD中,M、N分別是CD、AD上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=90°,則BM=CN.
任務要求:
(1)請你從Ⅰ、Ⅱ兩個命題中選擇一個進行證明.
(2)如圖,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是CD、DE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°,請問結論BM=CN是否還成立?若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.
分析:(1)正三角形ABC中,可通過全等三角形來證明BM=CN,由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°,而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°,因此∠ACN=∠MBC,又知道∠A=∠BCM=60°,AC=BC,因此△ACN≌△CBM,可得出BM=CN;(2)正方形和正五邊形的證明過程與正三角形的一樣,都是通過全等三角形來得出線段的相等,證三角形的過程中都是根據∠BON和多邊形的內角相等得出一組兩三角形中的一組對應角相等,然后根據正多邊形的內角和邊相等,得出△BCM和△CND全等,進而得出BM=CN.
解答:解:(1)選命題Ⅰ.
證明:在圖1中,∵△ABC是正三角形,
∴BC=CA,∠BCM=∠CAN=60°.
∵∠BON=60°,
∴∠CBM+∠BCN=60°.
∵∠BCN+∠ACN=60°,
∴∠CBM=∠ACN.
∴△BCM≌△CAN(ASA).
∴BM=CN.
選命題Ⅱ.
證明:在圖2中∵四邊形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCM=∠CDN=90°.
∵∠BON=90°,
∴∠CBM+∠BCN=90°.
∵∠BCN+∠DCN=90°,
∴∠CBM=∠DCN.
∴△BCM≌△CDN(ASA).
∴BM=CN.
(2)BM=CN成立.
證明:在圖3中,∵五邊形ABCDE是正五邊形,
∴BC=CD,∠BCM=∠CDN=108°.
∵∠BON=108°,
∴∠CBM+∠BCN=108°.
∵∠BCN+∠DCN=108°,
∴∠CBM=∠DCN.
∴△BCM≌△CDN(ASA).
∴BM=CN.
點評:本題主要考查了全等三角形,正多邊形等幾何知識,是一道幾何型探究題.本題是一道非常典型的幾何探究題,很好地體現了從一般到特殊的數學思想方法,引導學生漸漸地從易走到難,是新課標形勢下的成熟壓軸題.
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科目:初中數學 來源: 題型:

24、問題背景:某課外學習小組在一次學習研討中,得到了如下命題:
如圖①,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是CD、DE上的點,BM與CN相交于點O,若CM=DN,則∠BON=108°.
該小組提出了一個大膽的猜想:如圖②,在正五邊形ABCDE中,M、N分別是DE、EA上的點,BM與CN相交于點O,若DM=EN,則∠BON=108°.
請問他們的猜想是否正確?若正確,請寫出解答過程;若不正確,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:

問題背景:某課外學習小組在一次學習研討中,得到了如下兩個命題:
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①如圖1,在正三角形ABC中,M,N分別是AC,AB上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=60°,則BM=CN;
②如圖2,在正方形ABCD中,M,N分別是CD,AD上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=90°,則BM=CN.
然后運用類比的思想提出了如下命題;
③如圖3,在正五邊形ABCDE中,M,N分別是CD,DE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°,則BM=CN.任務要求:
(1)請你從①,②,③三個命題中選擇一個進行證明;
(2)請你繼續(xù)完成下面的探索:
①如圖4,在正n(n≥3)邊形ABCDEF…中,M,N分別是CD,DE上的點,BM與CN相交于點O,試問當∠BON等于多少度時,結論BM=CN成立;(不要求證明)
②如圖5,在正五邊形ABCDE中,M,N分別是DE,AE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°時,試問結論BM=CN是否還成立.若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

問題背景:某課外學習小組在一次學習研討中,得到了如下兩個命題:

①如圖1,在正三角形ABC中,M,N分別是AC,AB上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=60°,則BM=CN;
②如圖2,在正方形ABCD中,M,N分別是CD,AD上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=90°,則BM=CN.
然后運用類比的思想提出了如下命題;
③如圖3,在正五邊形ABCDE中,M,N分別是CD,DE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°,則BM=CN.任務要求:
(1)請你從①,②,③三個命題中選擇一個進行證明;
(2)請你繼續(xù)完成下面的探索:
①如圖4,在正n(n≥3)邊形ABCDEF…中,M,N分別是CD,DE上的點,BM與CN相交于點O,試問當∠BON等于多少度時,結論BM=CN成立;(不要求證明)
②如圖5,在正五邊形ABCDE中,M,N分別是DE,AE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°時,試問結論BM=CN是否還成立.若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

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科目:初中數學 來源:2006年江西省中考數學試卷(課標卷)(解析版) 題型:解答題

(2006•江西)問題背景:某課外學習小組在一次學習研討中,得到了如下兩個命題:

①如圖1,在正三角形ABC中,M,N分別是AC,AB上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=60°,則BM=CN;
②如圖2,在正方形ABCD中,M,N分別是CD,AD上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=90°,則BM=CN.
然后運用類比的思想提出了如下命題;
③如圖3,在正五邊形ABCDE中,M,N分別是CD,DE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°,則BM=CN.任務要求:
(1)請你從①,②,③三個命題中選擇一個進行證明;
(2)請你繼續(xù)完成下面的探索:
①如圖4,在正n(n≥3)邊形ABCDEF…中,M,N分別是CD,DE上的點,BM與CN相交于點O,試問當∠BON等于多少度時,結論BM=CN成立;(不要求證明)
②如圖5,在正五邊形ABCDE中,M,N分別是DE,AE上的點,BM與CN相交于點O,若∠BON=108°時,試問結論BM=CN是否還成立.若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由.

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