Question

（2006•惠安縣質檢）如圖，點O是邊為2的正方形ABCD的中心，點E從A點開始沿AD邊運動，點F從D點開始沿DC邊運動，并且AE=DF．
（1）求正方形ABCD的對角線AC的長；
（2）若點E、F同時運動，連接OE、OF，請你探究：四邊形DEOF的面積S與正方形ABCD的面積關系，并求出四邊形DEOF的面積S；
（3）在（2）的基礎上，設AE=x，△EOF的面積為y，y與x之間的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并利用圖象說明當x在什么范圍時，y≥．

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據勾股定理得出AC的長．
（2）連接OD，先證△AEO≌△DFO，然后得出S_△OFD=S_△AEO，因此四邊形DEOF的面積就轉化為三角形AOD的面積．三角形AOD的面積是正方形的，由此可求出S的值．
（3）由（2）得出的四邊形BEOF的面積，那么y=1-S_△DEF=然后用x表示出三角形DEF的面積，即可得出函數式．
解答：解：（1）在直角三角形ABC中
AC==2．

（2）連接OD，
∵OA=OD，AE=DF，∠ODC=∠OAD=45°
∴△AEO≌△DFO
∴S_△OFD=S_△AEO則S_{四邊形DEOF}=S_△ADO
又S_△ADO=S_{四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形DEOF}=S_{四邊形ABCD}=1．

（3）由（2）得：y=1-S_△DEF=1-x（2-x）=x²-x+1
且0≤x≤2
配方得：y=（x-1）²+
畫圖：
令時，（x-1）²+=
∴x₁=，x₂=
由圖象可知：當0≤x≤時，或≤x≤2時y≥．
點評：本題主要考查了正方形的性質和二次函數的綜合應用，本題中利用全等三角形來轉化面積是解題的關鍵．