Question

（2012•盧灣區(qū)一模）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為點(diǎn)D，且∠ADC的正切值為

1

2

．
（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的表達(dá)式；
（3）F點(diǎn)是拋物線上的一點(diǎn)，且位于第一象限，連接AF，若∠FAC=∠ADC，求F點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由拋物線和x軸交于A，B兩點(diǎn)，可求出對(duì)稱軸方程，再由已知條件可求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-h）²+k，由（1）可知h=1，k=-4，再把A或B點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出a的值即可；
（3）過點(diǎn)F作作FH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，設(shè)F（x，x²-2x-3），由已知條件求出x的值，即可求出F的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，
∴對(duì)稱軸直線l=

-1+3

2

=1，
∵對(duì)稱軸l與x軸相交于點(diǎn)C，
∴AC=2，
∵∠ACD=90°，tan∠ADC=

1

2

，
∴CD=4，
∵a＞0，
∴D（1，-4）；

（2）設(shè)y=a（x-h）²+k，有（1）可知h=1，k=-4，
∴y=a（x-1）²-4，
將x=-1，y=0代入上式，
得：a=1，
所以，這條拋物線的表達(dá)為y=x²-2x-3；

（3）過點(diǎn)F作作FH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，
設(shè)F（x，x²-2x-3），
∵∠FAC=∠ADC，
∴tan∠FAC=tan∠ADC，
∵tan∠ADC=

1

2

，
∴tan∠FAC=

FH

AH

=

1

2

，
∵FH=x²-2x-3，AH=x+1，
∴

x2-2x-3

x+1

=

1

2

，
解得x₁=

7

2

，x₂=-1（舍），
∴F（

7

2

，

9

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．