Question

四邊形是大家最熟悉的圖形之一，我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了它的許多性質(zhì)．只要善于觀察、樂于探索我們還會發(fā)現(xiàn)更多的結(jié)論．

(1)四邊形一條對角線上任意一點與另外兩個頂點的連線，將四邊形分成四個三角形(如圖①)，其中相對的兩對三角形的面積之積相等．你能證明這個結(jié)論嗎？試試看．

已知：在四邊形ABCD中O是對角線BD主任意一點(如圖①)．

求證：S_△OBC·S_△OAD＝S_△OAB·S_△OCD；

(2)在三角形中(如圖②)，你能否歸納出類似的結(jié)論？若能，寫出你猜想的結(jié)論，并證明；若不能，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)分別過點A、C，作AE⊥DB，交DB的延長線于E，CF⊥BD于F，則有S△AOB＝BO·AE，S△COD＝DO·CF，S△AOD＝DO·AE，S△BOC＝BO·CF，∴S△AOB·S△COD＝BO·DO·AE·CF，S△AOD·S△BOC＝BO·DO·CF·AE，∴S△AOB·S△COD＝S△AOD·S△BOC; 　　(2)能．從三角形的一個頂點與對邊上任意、點的連線上任取一點，與三角形的另外兩個頂點的連線，將三角形分成四個小三角形，其中相對的兩對三角形的面積之積相等，或S△COD·S△BOC＝S△AOB·S△DOC．已知：在△ABC中，D為AC上一點，O為BD上一點．求證：S△AOD·S△BOC＝S△AOB·S△DOC．證明：分別過點A、C，作AE上BD，交BD的延長線于E，作CF⊥BD于F，則有：S△AOD＝DO·AE，S△BOC＝BO·CF，S△OAB＝BO·AE，S△DOC＝OD·CF，S△AOD·S△BOC＝BO·DO·CF·AE，∴S△OAB·S△DOC＝BO·DO·AE·CF，∴S△AOD·S△BOC＝S△OAB·S△DOC