Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BC⊥AB，CP切⊙O于點P，連OC，交⊙O于N，交BP于E，連BN，AP．
（1）求證：BN平分∠PBC．
（2）連AC交BP于M，若AB=BC=4，求tan∠PAC的值．

Answer 1

分析：（1）連接OP，證OC垂直平分PB，求出∠NBE+∠ENB=90°，∠CBN+∠NBO=90°，根據(jù)∠ONB=∠OBN求出∠NBP=∠NBC，即可得出答案；
（2）證△OEB∽△BEC，求出BE=2OE，CE=2BE=4OE，設(shè)OE=x，則CE=4x，過C作CQ⊥AP交AP延長線于Q，得出四邊形QPEC是矩形，推出QC=PE=BE=2x，QP=CE=4x，AQ=6x，代入tan∠PAC=

CQ

AQ

求出即可．

解答：（1）證明：連接PO，
∵CB⊥AB，
∴CB是⊙O切線，
∵CP是⊙O切線，
∴PC=BC，
即C在PB垂直平分線上，
∵OP=OB，
∴O在PB的垂直平分線上，
∴OC⊥PB，PE=BE，
∴∠BEC=∠CBO=90°，
∴∠NBE+∠ENB=90°，∠CBN+∠NBO=90°，
∵ON=OB，
∴∠ONB=∠OBN，
∴∠NBP=∠NBC，
∴BN平分∠PBC．

（2）解：∵BE⊥OC，
∴∠OEB=∠CEB=∠OBC=90°，
∴∠OBE+∠EOB=90°，∠EBO+∠EBC=90°，
∴∠EOB=∠EBC，
∴△OEB∽△BEC，
∴

OB

BC

=

OE

BE

=

BE

CE

，
∵OB=

1

2

AB=2，BC=4，
∴BE=2OE，CE=2BE=4OE，
設(shè)OE=x，則CE=4x，
∵PE=BE，AO=OB，
∴AP=2OE=2x，
過C作CQ⊥AP交AP延長線于Q，
則∠Q=∠QPE=∠PEC=90°，
∴四邊形QPEC是矩形，
∴QC=PE=BE=2x，QP=CE=4x，
∴AQ=4x+2x=6x，
在Rt△AQC中，tan∠PAC=

CQ

AQ

=

2x

6x

=

1

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力．