Question

如圖，△ABC是圓O的內接三角形，AB是直徑，∠ABC=45°，點M在邊AC上，點N在邊BC上，△MCN與△MPN關于直線MN對稱，P是AB上的點．
（1）當點P是邊AB的中點時，求證：

PA

PB

=

CM

CN

；
（2）當點P不是邊AB的中點時，

PA

PB

=

CM

CN

是否仍然成立？請證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）連接CP，依據題意得折痕MN⊥CP，由AC=BC，AP=BP，可得CP⊥AB，MN∥AB，利用平行線分線段成比例定理，即可證得

PA

PB

=

CM

CN

；
（2）連接CP，則MN⊥CP．作PE⊥AC于E，易得PE∥BC，由平行線分線段成比例定理與等腰三角形的性質，即可證得Rt△MCN∽Rt△PEC，由相似三角形的對應邊成比例，即可證得答案．

解答：（1）證明：連接CP，依據題意得折痕MN⊥CP．
∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB．
∴MN∥AB，
∴

CM

CN

=

AC

BC

=1．
∴

PA

PB

=

CM

CN

．


（2）解：當點P不是斜邊AB的中點時，

PA

PB

=

CM

CN

仍然成立．
證明如下：
連接CP，則MN⊥CP．作PE⊥AC于E．
∵∠ACB=90°，
∴PE∥BC，
∴

PA

PB

=

AE

EC

．
又AC=BC，∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=PE．
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴Rt△MCN∽Rt△PEC，
∴

CM

PE

=

CN

EC

．
∴

CM

CN

=

PE

EC

=

AE

EC

．
∴

PA

PB

=

CM

CN

．

點評：此題考查了翻折變換的性質，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質等知識．此題難度適中，解題時要注意比例變形與數形結合思想的應用．