Question

如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACD的平分線交于點A₁，得∠A₁；∠A₁BC與∠A₁CD的平分線相交于點A₂，得∠A₂；…∠A₂₀₁₀BC與∠A₂₀₁₀CD的平分線相交于點A₂₀₁₁，得∠A₂₀₁₁，根據(jù)題意填空：
（1）如果∠A=80°，則∠A₁=

40

°．
（2）如果∠A=α，則∠A₂₀₁₁=

a

22011

．（直接用α代數(shù)式）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義，三角形的外角性質及三角形的內角和定理可知∠A₁=

1

2

∠A；
（2）根據(jù)角平分線的定義，三角形的外角性質及三角形的內角和定理可知∠A₁=

1

2

∠A=

a

21

，∠A₂=

1

2

∠A₁=

a

22

，…，依此類推可知∠A₂₀₁₁的度數(shù)．

解答：解：（1））∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點A₁，
∴∠A₁=180°-

1

2

∠ACD-∠ACB-

1

2

∠ABC
=180°-

1

2

（∠ABC+∠A）-（180°-∠A-∠ABC）-

1

2

∠ABC
=

1

2

∠A
=40°；

（2）∵∠ABC與∠ACD的平分線交于點A₁，
∴∠A₁=180°-

1

2

∠ACD-∠ACB-

1

2

∠ABC
=180°-

1

2

（∠ABC+∠A）-（180°-∠A-∠ABC）-

1

2

∠ABC
=

1

2

∠A
=

a

21

；
同理可得，∠A₂=

1

2

∠A₁=

a

22

，
…
∴∠A₂₀₁₁=

a

22011

．
故答案為：40，

a

22011

．

點評：本題是找規(guī)律的題目，主要考查了三角形的外角性質及三角形的內角和定理，同時考查了角平分線的定義．解答的關鍵是溝通外角和內角的關系．