Question

如圖①，E是AB延長線上一點，分別以AB、BE為一邊在直線AE同側作正方形ABCD和正方形BEFG，連接AG、CE．
（1）試探究線段AG與CE的大小關系，并證明你的結論；
（2）若AG恰平分∠BAC，且BE=1，試求AB的長；
（3）將正方形BEFG繞點B逆時針旋轉一個銳角后，如圖②，問（1）中結論是否仍然成立，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△CBE全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）利用角平分線的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)得出MC=MG，進而利用勾股定理得出GC的長，即可得出AB的長；
（3）先求出∠ABG=∠CBE，然后利用“邊角邊”證明△ABG和△CBE全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等即可得證．
解答：解：（1）AG=CE．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，
在△ABG和△CBE中，
∵，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE；

（2）過點G作GM⊥AC于點M，
∵AG恰平分∠BAC，MG⊥AC，GB⊥AB，
∴BG=MG，
∵BE=1，
∴MG=BG=1，
∵AC平分∠DCB，
∴∠BCM=45°，
∴MC=MG=1，
∴GC=，
∴AB的長為：AB=BC=+1；


（3）AG=CE仍然成立．
理由如下：在正方形ABCD和正方形BEFG中，AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°，
∵∠ABG=∠ABC-∠CBG，
∠CBE=∠EBG-∠CBG，
∴∠ABG=∠CBE，
在△ABG和△CBE中，
∵，
∴△ABG≌△CBE（SAS），
∴AG=CE．
點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練利用正方形的性質(zhì)得出是解題的關鍵．