Question

12．（1）如圖①，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，在直線AB上方找一點(diǎn)D，使得∠ADB=∠ACB，畫出∠ADB，并說明理由；
（2）如圖②，AB是⊙O的弦，點(diǎn)C是⊙O上的一點(diǎn)，在過點(diǎn)C的直線l上找一點(diǎn)P，使得∠APB＜∠ACB，畫出∠APB，并說明理由；
問題解決：
（3）如圖③，已知足球球門寬AB約為5$\sqrt{2}$米，一球員從距B點(diǎn)5$\sqrt{2}$米的C點(diǎn)（點(diǎn)A、B、C均在球場(chǎng)底線上），沿與AC成45°角的CD方向帶球．試問，該球員能否在射線CD上找到一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為最佳射門點(diǎn)（即∠APB最大）？若能找到，求出這時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)C的距離；若找不到，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）在優(yōu)弧AB上任意取一點(diǎn)D，連接AD、BD，則∠ADB=∠ACB．根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等即可證明．
（2）如圖②中，過點(diǎn)C的直線l與⊙O交于點(diǎn)E，在CE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P，連接PA、PB，則∠APB＜∠ACB．設(shè)AP交⊙O于F．由∠AFB＞∠APB，∠AFB=∠ACB，即可證明．
（3）如圖③中，作經(jīng)過點(diǎn)A、B且和直線CD相切的圓，切點(diǎn)為P，此時(shí)∠APB最大．根據(jù)切線長(zhǎng)定理即可計(jì)算．

解答 解：（1）如圖①中，

在優(yōu)弧AB上任意取一點(diǎn)D，連接AD、BD，則∠ADB=∠ACB．
理由：∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AB}$，
∴∠ADB=∠ACB．

（2）如圖②中，過點(diǎn)C的直線l與⊙O交于點(diǎn)E，在CE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P，連接PA、PB，則∠APB＜∠ACB．

理由：設(shè)AP交⊙O于F．
∵∠AFB＞∠APB，∠AFB=∠ACB，
∴∠APB＜∠ACB．

（3）如圖③中，作經(jīng)過點(diǎn)A、B且和直線CD相切的圓，切點(diǎn)為P，此時(shí)∠APB最大．

∵PC是切線，
∴PC²=CB•CA，（可以證明△CPB∽△CAP，得到$\frac{CP}{CA}$=$\frac{CB}{CP}$）
∵CB=5$\sqrt{2}$，AC=10$\sqrt{2}$，
∴PC²=5$\sqrt{2}$×10$\sqrt{2}$=100，
∴PC=10米，
答：點(diǎn)P與點(diǎn)C的距離為10米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、同弧所對(duì)的圓周角相等、切線長(zhǎng)定理、三角形的外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考常考題型．