Question

如圖，有一直徑MN=4的半圓形紙片，其圓心為點(diǎn)P，從初始位置Ⅰ開(kāi)始，在無(wú)滑動(dòng)的情況下沿?cái)?shù)軸向右翻滾至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于數(shù)軸，且半⊙P與數(shù)軸相切于原點(diǎn)O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于數(shù)軸，位置Ⅲ中的MN在數(shù)軸上；位置Ⅴ中的點(diǎn)N到數(shù)軸的距離為3，且半⊙P與數(shù)軸相切于點(diǎn)A．
解答下列問(wèn)題：
（1）紙片半⊙P從位置Ⅲ翻滾到位置Ⅳ時(shí)，該紙片所掃過(guò)圖形的面積；
（2）求位置Ⅲ中的圓心P在數(shù)軸上表示的數(shù)；
（3）求點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)扇形面積公式分別求出面積即可；
（2）根據(jù)位置Ⅰ中的長(zhǎng)與數(shù)軸上線段ON相等求出的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）作NC垂直數(shù)軸于點(diǎn)C，作PH⊥NC于點(diǎn)H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形，在Rt△NPH中，根據(jù)sin∠NPH==即可∠NPH、∠MPA的度數(shù)，進(jìn)而可得出的長(zhǎng)，即可得出答案．
解答：解：（1）∵S_半圓==2π，S_扇形==4π，
∴半⊙P所掃過(guò)圖形的面積為：2π+4π=6π．

（2）∵位置Ⅰ中的長(zhǎng)與數(shù)軸上線段ON相等，
的長(zhǎng)為=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圓心P在數(shù)軸上表示的數(shù)為：π+2．

（3）如圖，作NC垂直數(shù)軸于點(diǎn)C，作PH⊥NC于點(diǎn)H，連接PA，則四邊形PHCA為矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH==，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
從而的長(zhǎng)為=，于是OA的長(zhǎng)為：π+4+π=π+4．
∴點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為：π+4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的關(guān)系、弧長(zhǎng)的計(jì)算、扇形的面積公式，在解答此題時(shí)要注意Ⅰ中 的長(zhǎng)與數(shù)軸上線段ON相等的數(shù)量關(guān)系．