Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2、0）B（2、4）兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為D，點(diǎn)P（x、y）是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的直線PQ⊥x軸，與拋物線相交于點(diǎn)Q．
（1）求b、c的值
（2）求線段PQ長(zhǎng)度的最大值
（3）當(dāng)PQ的長(zhǎng)度取最大值時(shí)，在拋物線上是否存在M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)M的橫坐標(biāo)小于N 的橫坐標(biāo)），使得P、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出MN的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-2、0）B（2、4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入y=x²+bx+c就可以求出b、c的值，從而可以求出拋物線的解析式．
（2）根據(jù)A（-2、0）B（2、4）兩點(diǎn)的坐標(biāo)可以求出經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線的解析式，由點(diǎn)P（x、y），可以表示出P、Q的坐標(biāo)，從而可以表示出PQ的值，根據(jù)拋物線的最值就可以PQ的最值．
（3）根據(jù)拋物線的解析式就可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)最值就可以求出P的坐標(biāo)，從而求出PD的值，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)就可以表示出M、N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式就可以求出M、N的坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（-2、0）B（2、4）兩點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x²+x-2．

（2）∵A（-2、0），B（2、4），設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，則：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=x+2．
∵PQ⊥x軸，P（x、y），
∴P（x，x+2），Q（x，x²+x-2），
∴PQ=x+2-x²-x+2=-x²+4=-（x-0）²+4，
∴當(dāng)x=0時(shí)，PQ的最大值為4，
∴P（0，2）

（3）當(dāng)y=0時(shí)，則x²+x-2=0，
∴x₁=-2，x₂=1，
∴D（1，0）．
∴由勾股定理得PD=
∵四邊形PDNM是平行四邊形，
∴PD=MN，
∵點(diǎn)M的橫坐標(biāo)小于N 的橫坐標(biāo)，設(shè)M（a，a²+a-2），N（a+1，a²+3a），（a＜0）
∴（a+1-a）²+（a²+3a-a²-a+2）²=5，
∴a₁=0（不合題意），a₂=-2
∴M（-2，0），N（-1，-2）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和求一次函數(shù)的解析式，拋物線的最值的運(yùn)用，平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用、兩點(diǎn)間的距離公式的運(yùn)用及勾股定理的運(yùn)用．