Question

如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，P是△ABC內一點，PA=1，PB=3，PC=

7

，那么∠CPA=

 

度．

Answer 1

分析：將△ABP繞A點旋轉，根據旋轉的性質可得出∠QPA=45°，根據勾股定理可證出∠PAQ=90°，從而可得出答案．

解答：解：將△ABP繞A點逆時針旋轉90°，然后連接PQ，
則AQ=AP=1，CQ=PB=3，∠QAC=∠PAB，
∵∠QAP=90°，
∴∠QPA=45°，
又∵∠PAB+∠PAC=90°，
所以∠PAQ=∠QAC+∠CAP=∠PAB+∠PAC=90°，
所以PQ²=AQ²+AP²=2，且∠QPA=45°，
在△CPQ中，PC²+PQ²=7+2=9=CQ²
∴∠QPC=90°，
∴∠CPA=∠QPA+∠QPC=135°．
故答案為：135°．

點評：本題考查了等腰直角三角形及旋轉的性質，難度很大，解答本題的關鍵是將△ABP正確的旋轉．