Question

在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點，以OE為直徑的⊙交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．

(1)求OA、OC的長；

(2)求證：DF為⊙的切線；

(3)小明在解答本題時，發(fā)現(xiàn)△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形，且點P一定在⊙外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在矩形OABC中，設OC＝x則OA＝x＋2，依題意得 　　解得：(不合題意，舍去)∴OC＝3，OA＝5………………4分 　　(只要學生寫出OC＝3，OA＝5即給2分) 　　(2)連結(jié)D，在矩形OABC中，OC＝AB，∠OCB＝∠ABC＝90°，CE＝BE＝ 　　∴△OCE≌△ABE∴EA＝EO∴∠1＝∠2 　　在⊙中，∵O＝D∴∠1＝∠3∴∠3＝∠2∴D∥AE，∵DF⊥AE∴DF⊥D 　　又∵點D在⊙上，D為⊙的半徑，∴DF為⊙切線．………8分 　　(3)不同意．理由如下： 　�、佼擜O＝AP時， 　　以點A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點 　　過P1點作P1H⊥OA于點H，P1H＝OC＝3，∵AP1＝OA＝5 　　∴AH＝4，∴OH＝1求得點P1(1，3)同理可得：P4(9，3)………………9分 　　②當OA＝OP時， 　　同上可求得：P2(4，3)，P3(4，3)……………………………11分 　　因此，在直線BC上，除了E點外，既存在⊙內(nèi)的點P1，又存在⊙外的點P2、P3、P4，它們分別使△AOP為等腰三角形．…………………12分