【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B、C,點C坐標為(8,0),連接AB、AC.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;
(3)若點H在x軸上運動,當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,請直接寫出此時點H的坐標;
(4)若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合),過點N作NM∥AC,交AB于點M,當(dāng)△AMN面積最大時,求此時點N的坐標.
【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+4;
(2)△ABC是直角三角形;
(3)若點H在x軸上運動,當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,點H的坐標分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0);
(4)當(dāng)t=3時,△AMN面積最大,此時點N的坐標為(3,0).
【解析】
試題分析:(1)將A、C兩點的坐標代入y=ax2+x+c,得到關(guān)于a、c的二元一次方程組,解方程組求出a、c的值,即可求得拋物線的解析式;
(2)先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點B的坐標,再計算得出AB2+AC2=BC2,根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形;
(3)設(shè)點H的坐標為(n,0),得出AC2=80,AH2=n2+16,HC2=(n﹣8)2=n2﹣16n+64.當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,分三種情況進行討論:①AH=AC;②HC=AC;③AH=HC;分別列出關(guān)于n的方程,解方程即可;
(4)設(shè)點N的坐標為(t,0),那么BN=t+2,過M作MD⊥x軸于點D.根據(jù)平行線分線段成比例定理得出,求出MD=(t+2),再根據(jù)S△AMN=S△ABN﹣S△BMN,得出S△AMN=﹣(t﹣3)2+5,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
試題解析:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象過點A(0,4),C(8,0),
∴,
解得,
∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+4;
(2)△ABC是直角三角形,理由如下:
∵y=﹣x2+x+4,
∴當(dāng)y=0時,﹣ x2+x+4=0,
解得x1=8,x2=﹣2,
∴點B的坐標為(﹣2,0).
在Rt△AOB中,AB2=OA2+OB2=42+22=20,
在Rt△AOC中,AC2=OA2+OC2=42+82=80,
∵BC=OB+OC=2+8=10,
∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=100=102=BC2,
∴△ABC是直角三角形;
(3)設(shè)點H的坐標為(n,0),則AC2=80,AH2=n2+16,HC2=(n﹣8)2=n2﹣16n+64.
當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,可分三種情況:
①如果AH=AC,那么n2+16=80,解得n=±8(正值舍去),
此時點H的坐標為(﹣8,0);
②如果HC=AC,那么(n﹣8)2=80,解得n=8±4,
此時點H的坐標為(8+4,0)或(8﹣4,0);
③如果AH=HC,那么n2+16=n2﹣16n+64,解得n=3,
此時點H的坐標為(3,0);
綜上所述,若點H在x軸上運動,當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,點H的坐標分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0);
(4)設(shè)點N的坐標為(t,0),則BN=t+2,過M作MD⊥x軸于點D.
∵MD∥OA,
∴△BMD∽△BAO,
∴,
∵NM∥AC,
∴,
∴,
∵AO=4,BC=10,BN=t+2,
∴MD=(t+2),
∴S△AMN=S△ABN﹣S△BMN
=BNOA﹣BNMD
=×(t+2)×4﹣×(t+2)×(t+2)
=﹣t2+t+
=﹣(t﹣3)2+5,
∴當(dāng)t=3時,△AMN面積最大,此時點N的坐標為(3,0).
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A. tan 25°<cos 26°<sin 27°
B. tan 25°<sin 27°<cos 26°
C. sin 27°<tan 25°<cos 26°
D. cos 26°<tan 25°<sin 27°
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