【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B、C,點C坐標為(8,0),連接AB、AC.

(1)求二次函數(shù)的解析式;

(2)判斷△ABC的形狀,并說明理由;

(3)若點H在x軸上運動,當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,請直接寫出此時點H的坐標;

(4)若點N在線段BC上運動(不與點B、C重合),過點N作NM∥AC,交AB于點M,當(dāng)△AMN面積最大時,求此時點N的坐標.

【答案】(1)二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+4;

(2)△ABC是直角三角形;

(3)若點H在x軸上運動,當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,點H的坐標分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0);

(4)當(dāng)t=3時,△AMN面積最大,此時點N的坐標為(3,0).

【解析】

試題分析:(1)將A、C兩點的坐標代入y=ax2+x+c,得到關(guān)于a、c的二元一次方程組,解方程組求出a、c的值,即可求得拋物線的解析式;

(2)先根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出點B的坐標,再計算得出AB2+AC2=BC2,根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形;

(3)設(shè)點H的坐標為(n,0),得出AC2=80,AH2=n2+16,HC2=(n﹣8)2=n2﹣16n+64.當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,分三種情況進行討論:①AH=AC;②HC=AC;③AH=HC;分別列出關(guān)于n的方程,解方程即可;

(4)設(shè)點N的坐標為(t,0),那么BN=t+2,過M作MD⊥x軸于點D.根據(jù)平行線分線段成比例定理得出,求出MD=(t+2),再根據(jù)S△AMN=S△ABN﹣S△BMN,得出S△AMN=﹣(t﹣3)2+5,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

試題解析:(1)∵二次函數(shù)y=ax2+x+c(a≠0)的圖象過點A(0,4),C(8,0),

,

解得,

∴二次函數(shù)的解析式為y=﹣x2+x+4;

(2)△ABC是直角三角形,理由如下:

∵y=﹣x2+x+4,

∴當(dāng)y=0時,﹣ x2+x+4=0,

解得x1=8,x2=﹣2,

∴點B的坐標為(﹣2,0).

在Rt△AOB中,AB2=OA2+OB2=42+22=20,

在Rt△AOC中,AC2=OA2+OC2=42+82=80,

∵BC=OB+OC=2+8=10,

∴在△ABC中,AB2+AC2=20+80=100=102=BC2,

∴△ABC是直角三角形;

(3)設(shè)點H的坐標為(n,0),則AC2=80,AH2=n2+16,HC2=(n﹣8)2=n2﹣16n+64.

當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,可分三種情況:

①如果AH=AC,那么n2+16=80,解得n=±8(正值舍去),

此時點H的坐標為(﹣8,0);

②如果HC=AC,那么(n﹣8)2=80,解得n=8±4

此時點H的坐標為(8+4,0)或(8﹣4,0);

③如果AH=HC,那么n2+16=n2﹣16n+64,解得n=3,

此時點H的坐標為(3,0);

綜上所述,若點H在x軸上運動,當(dāng)以點A、H、C為頂點的三角形是等腰三角形時,點H的坐標分別為(﹣8,0)、(8﹣4,0)、(3,0)、(8+4,0);

(4)設(shè)點N的坐標為(t,0),則BN=t+2,過M作MD⊥x軸于點D.

∵MD∥OA,

∴△BMD∽△BAO,

,

∵NM∥AC,

,

,

∵AO=4,BC=10,BN=t+2,

∴MD=(t+2),

∴S△AMN=S△ABN﹣S△BMN

=BNOA﹣BNMD

=×(t+2)×4﹣×(t+2)×(t+2)

=﹣t2+t+

=﹣(t﹣3)2+5,

∴當(dāng)t=3時,△AMN面積最大,此時點N的坐標為(3,0).

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