Question

如圖，以O(shè)為原點的直角坐標系中，A點的坐標為（0，1），直線x=1交x軸于點B。P為線段AB上一動點，作直線PC⊥PO，交直線x=1于點C。過P點作直線MN平行于x軸，交y軸于點M，交直線x=1于點N。

　�。�1）當(dāng)點C在第一象限時，求證：△OPM≌△PCN；

　�。�2）當(dāng)點C在第一象限時，設(shè)AP長為m，四邊形POBC的面積為S，請求出S與m間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

　　（3）當(dāng)點P在線段AB上移動時，點C也隨之在直線x=1上移動，△PBC是否可能成為等腰三角形？如果可能，求出所有能使△PBC成為等腰直角三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由。

Answer 1

（1）∵OM∥BN，MN∥OB，∠AOB=90⁰，

　　∴四邊形OBNM為矩形。

　　∴MN=OB=1,∠PMO=∠CNP=90⁰

　　∵，AO=BO=1，

　　∴AM=PM。

　　∴OM=OA-AM=1-AM，PN=MN-PM=1-PM，

　　∴OM=PN，

　　∵∠OPC=90⁰，

　　∴∠OPM+CPN=90^0，

　　又∵∠OPM+∠POM=90⁰　　∴∠CPN=∠POM，

　　∴△OPM≌△PCN.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　�。�2）∵AM=PM=APsin45⁰=，

　　∴NC=PM=，∴BN=OM=PN=1-；

　　∴BC=BN-NC=1--=

　　

　　（3）△PBC可能為等腰三角形�！　　　　　　　　　　　　　　　　　　�

　　①當(dāng)P與A重合時，PC=BC=1，此時P（0，1）

　�、诋�(dāng)點C在第四象限，且PB=CB時，

　　有BN=PN=1－，

　　∴BC=PB=PN=-m，

∴NC=BN+BC=1－+-m，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　由⑵知：NC=PM=，

　　∴1－+-m=，　　∴m=1.　　　　　　　　　　　　　　

　　∴PM==，BN=1－=1－，

　　∴P（,1－）.

∴使△PBC為等腰三角形的的點P的坐標為（0，1）或（,1－）