Question

正方形ABCD的頂點A在直線MN上，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作OE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．

（1）如圖1，當O、B兩點均在直線MN上方時，易證：AF+BF=2OE（不需證明）

（2）當正方形ABCD繞點A順時針旋轉至圖2、圖3的位置時，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，過點B作BG⊥OE于G，

則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE。

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°。

又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG。

在△AOE和△OBG中，

∵∠AOE=∠OBG，∠AEO=∠OGB=90°，OA=OB，

∴△AOE≌△OBG（AAS）�！郞G=AE，OE=BG。

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，

∴AF﹣OE=OE﹣BF。∴AF+BF=2OE。

（2）圖2結論：AF﹣BF=2OE；圖3結論：AF﹣BF=2OE。

對圖2證明：過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G，

則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE。

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°。

又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG。

在△AOE和△OBG中，∵∠AOE=∠OBG，∠AEO=∠OGB=90°，OA=OB，

∴△AOE≌△OBG（AAS）�！郞G=AE，OE=BG。

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，

∴AF﹣OE=OE+BF�！郃F﹣BF=2OE。

若選圖3，其證明方法同上。

【解析】

試題分析：（1）過點B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據AF﹣EF=AE，整理即可得證。

（2）選擇圖2，過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據AF﹣EF=AE，整理即可得證；選擇圖3同理可證。