Question

正方形ABCD的頂點(diǎn)A在直線MN上，點(diǎn)O是對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥MN于點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF⊥MN于點(diǎn)F．

（1）如圖1，當(dāng)O、B兩點(diǎn)均在直線MN上方時(shí)，易證：AF+BF=2OE（不需證明）

（2）當(dāng)正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時(shí)，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．

 

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥OE于G，

則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE。

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°。

又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG。

在△AOE和△OBG中，

∵∠AOE=∠OBG，∠AEO=∠OGB=90°，OA=OB，

∴△AOE≌△OBG（AAS）。∴OG=AE，OE=BG。

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，

∴AF﹣OE=OE﹣BF�！郃F+BF=2OE。

（2）圖2結(jié)論：AF﹣BF=2OE；圖3結(jié)論：AF﹣BF=2OE。

對(duì)圖2證明：過點(diǎn)B作BG⊥OE交OE的延長線于G，

則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE。

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°。

又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG。

在△AOE和△OBG中，∵∠AOE=∠OBG，∠AEO=∠OGB=90°，OA=OB，

∴△AOE≌△OBG（AAS）。∴OG=AE，OE=BG。

∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，

∴AF﹣OE=OE+BF�！郃F﹣BF=2OE。

若選圖3，其證明方法同上。

【解析】

試題分析：（1）過點(diǎn)B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證。

（2）選擇圖2，過點(diǎn)B作BG⊥OE交OE的延長線于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對(duì)角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證；選擇圖3同理可證。