Question

（1）如圖①，一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子的棱長(zhǎng)分別為BC=3cm、AB=4cm、AA₁=5cm，盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)C₁處有一只昆蟲甲，在盒子的內(nèi)部頂點(diǎn)A處有一只昆蟲乙（盒壁的厚度忽略不計(jì)）．假設(shè)昆蟲甲在頂點(diǎn)C₁處?kù)o止不動(dòng)，請(qǐng)計(jì)算A處的昆蟲乙沿盒子內(nèi)壁爬行到昆蟲甲C₁處的最短路程．并畫出其最短路徑，簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法．
（2）如果（1）問(wèn)中的長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為AB=BC=6cm，AA₁=14cm，如圖②，假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)C₁以1厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱C₁C向下爬行，同時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)A以3厘米/秒的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能捕捉到昆蟲甲？

Answer 1

解：根據(jù)長(zhǎng)方形的對(duì)稱性，昆蟲乙從頂點(diǎn)A沿內(nèi)壁爬行到昆蟲甲C₁處的最短路程有3種可能，
（1）如圖①中，圖a，A→E₁→C₁，
AE₁C₁==cm，
圖b，A→E₂→C₁，
AE₂C₁==cm，
圖c，A→E₃→C₁，
AE₃C₁==cm，
∵AE₁C₁＞AE₂C₁＞AE₃C₁，
∴最短路程為cm，
∴最短路徑為A→E₃→C₁，
畫法：由△ABE₃∽△ACC₁，
得出：=，
∴=，
∴BE₃=2cm，即取BE₃=2cm，連接AE₃，E₃C₁即可．

（2）因?yàn)槔ハx是在側(cè)面上爬行，可以看出，下面兩圖的最短路徑相等，
設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)C₁沿棱C₁C向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)A按路徑A→E→F，
爬行捕捉到昆蟲甲需x秒鐘，如圖1在Rt△ACF中，
（3x）²=12²+（14-x）²，
∵x＞0，解得：x=5．
答：昆蟲乙至少需要5秒鐘才能捕捉到昆蟲甲．
分析：（1）根據(jù)圖a，A→E₁→C₁，圖b，A→E₂→C₁，以及圖c，A→E₃→C₁，利用勾股定理分別求出，即可得出最短路徑，畫法根據(jù)△ABE₃∽△ACC₁，得出BE₃的長(zhǎng)度，連接AE₃，E₃C₁即可．
（2）利用昆蟲是在側(cè)面上爬行，兩種爬行路線的最短路徑相等，利用勾股定理求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平面展開-最短路徑問(wèn)題以及三角形的相似等知識(shí)，立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決，最短路徑問(wèn)題利用平面展開圖分別求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．