Question

（2012•南潯區(qū)二模）如圖，點A（a，b）是拋物線y=

1

2

x2上一動點，OB⊥OA交拋物線于點B（c，d）．當點A在拋物線上運動的過程中（點A不與坐標原點O重合），以下結(jié)論：①ac為定值；②ac=-bd；③△AOB的面積為定值；④直線AB必過一定點．正確的有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：過點A、B分別作x軸的垂線，通過構(gòu)建相似三角形以及函數(shù)解析式來判斷①②是否正確．△AOB的面積不易直接求出，那么可由梯形的面積減去構(gòu)建的兩個直角三角形的面積得出，根據(jù)得出的式子判斷這個面積是否為定值．利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，即可判斷④是否正確．

解答：解：過A、B分別作AC⊥x軸于C、BD⊥x軸于D，則：AC=b，OC=-a，OD=c，BD=d；
（1）由于OA⊥OB，易知△OAC∽△BOD，有：

AC

OD

=

OC

BD

，即

b

c

=

-a

d

∴ac=-bd（結(jié)論②正確）．

（2）將點A、B的坐標代入拋物線的解析式中，有：
b=

1

2

a²…Ⅰ、d=

1

2

c²…Ⅱ；
Ⅰ×Ⅱ，得：bd=

1

4

a²c²，即-ac=

1

4

a²c²，ac=-4（結(jié)論①正確）．

（3）S_△AOB=S_梯形ACDB-S_△ACO-S_△BOD
=

1

2

（b+d）（c-a）-

1

2

（-a）b-

1

2

cd
=

1

2

bc-

1

2

ad=

1

2

（bc-

-4

c

•

4

b

）=

1

2

（bc+

16

bc

）
由此可看出，△AOB的面積不為定值（結(jié)論③錯誤）．

（4）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+h，代入A、B的坐標，得：
ak+h=b…Ⅲ、ck+h=d…Ⅳ
Ⅲ×c-Ⅳ×a，得：
h=

bc-ad

c-a

=

1 2 a2c- 1 2 ac2

c-a

=-

1

2

ac=2；
∴直線AB與y軸的交點為（0，2）（結(jié)論④正確）．
綜上，共有三個結(jié)論是正確的，它們是①②④，故選C．

點評：題目涉及的考點并不復雜，主要有：利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法，難就難在式子的變形，可以將已知的條件列出，通過比較式子間的聯(lián)系來找出答案．