Question

如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，OA=15，OC=9，在AB上取一點(diǎn)M，使得△CBM沿CM翻折后，點(diǎn)B落在x軸上，記作N點(diǎn)．
（1）求N點(diǎn)、M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將拋物線y=x²-36向右平移a（0＜a＜10）個(gè)單位后，得到拋物線l，l經(jīng)過(guò)點(diǎn)N，求拋物線l的解析式；
（3）①拋物線l的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到M、N兩點(diǎn)的距離之差最大，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與O、C重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA交CN于E，設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明S是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BC=CN=OA，由此可在Rt△OCN中用勾股定理求出ON的長(zhǎng)（由此可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)），即可得到NA的值；在Rt△AMN中，用AM表示出MN、BM的值，然后由勾股定理即可求出AM的長(zhǎng)，也就得到了M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）用a表示出拋物線l的解析式，然后將N點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，即可求出拋物線l的解析式；
（3）①此題的關(guān)鍵是確定P點(diǎn)的位置，若PM-PN最大，那么P點(diǎn)必為直線MN與拋物線對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)（可由三角形三邊關(guān)系定理推出），可用待定系數(shù)法求出直線MN的解析式，聯(lián)立拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程，即可得到P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②由于DE∥ON，易證得△CDE∽△CON，根據(jù)相似三角形得到的比例線段即可求出DE的表達(dá)式，以DE為底，P、D縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高即可得到△DEP的面積，由此可求出關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的m的值．

解答：解：如圖
（1）∵CN=CB=15，OC=9，
∴ON=

152-92

=12，
∴N（12，0）；
又∵AN=OA-ON=15-12=3，
設(shè)AM=x
∴3²+x²=（9-x）²
∴解得：x=4，M（15，4）；

（2）解法一：設(shè)拋物線l為y=（x-a）²-36
則（12-a）²=36
∴a₁=6或a₂=18（舍去）
∴拋物線l：y=（x-6）²-36
解法二：
∵x²-36=0，
∴x₁=-6，x₂=6；
∴y=x²-36與x軸的交點(diǎn)為（-6，0）或（6，0）
由題意知，交點(diǎn)（6，0）向右平移6個(gè)單位到N點(diǎn)，
所以y=x²-36向右平移6個(gè)單位得到拋物線l：y=（x-6）²-36=x²-12x；

（3）①由“三角形任意兩邊的差小于第三邊”知：P點(diǎn)是直線MN與對(duì)稱(chēng)軸x=6的交點(diǎn)，
設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

12k+b=0 15k+b=4

，
解得

k= 4 3 b=-16

，
∴y=

4

3

x-16，
∴P（6，-8）；
②∵DE∥OA，
∴△CDE∽△CON，
∴

m

9

=

DE

12

DE=

4

3

m；
∴S=

1

2

×

4

3

m×(9+8-m)=-

2

3

m2+

34

3

m
∵a=-

2

3

＜0，開(kāi)口向下，又m=-

34 3

2×(- 2 3 )

=

34×3

3×4

=

17

2

＜9
∴S有最大值，且S_最大=-

2

3

×(

17

2

)2+

34

3

×

17

2

=

289

6

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了勾股定理、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、圖形面積的求法、三角形三邊關(guān)系定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度偏大．