Question

12．在平面直角坐標系中，點A的坐標（0，4），點C的坐標（6，0），點P是x軸上的一個動點，從點C出發(fā)，沿x軸的負半軸方向運動，速度為2個單位/秒，運動時間為t秒，點B在x軸的負半軸上，且S_△AOC=3S_△AOB．

（1）求點B的坐標；
（2）若點D在y軸上，是否存在點P，使以P、D、O為頂點的三角形與△AOB全等？若存在，直接寫出點D坐標；若不存在，請說明理由
（3）點Q是y軸上的一個動點，從點A出發(fā)，向y軸的負半軸運動，速度為2個單位/秒．若P、Q分別從C、A兩點同時出發(fā)，求：t為何值時，以P、Q、O三點構成的三角形與△AOB全等．

Answer 1

分析 （1）先求出OA，OC進而得出△AOC的面積，即可得出△AOB的面積，最后得出點B坐標；
（2）由于∠POD=∠AOB=90°，所以分兩種情況討論計算即可；
（3）先按時間分成三種情況，每種情況中同（2）的方法即可得出結論．

解答 解：（1）∵點A的坐標（0，4），點C的坐標（6，0），
∴OA=4，OC=6，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$OC•OA=$\frac{1}{2}$×6×4=12，
∵S_△AOC=3S_△AOB．S_△AOB=4，
設B（x，0），
∵點B在x軸的負半軸上，
∴OB=-x，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$OB•OA=$\frac{1}{2}$×（-x）×4=4，
∴x=-2，
∴B（-2，0）；
（2）∵P在x軸上，D在y軸，
∴∠POD=∠AOB=90°，
∵以P、D、O為頂點的三角形與△AOB全等，
∴①△POD≌△AOB，
∴OD=OB=2，
∴D（-2，0）或（2，0）
②△DOP≌△AOB，
∴OD=OA=4，
∴D（4，0）或（-4，0），
即：滿足條件的D的坐標為（0，4），（0，-4），（0，2），（0，-2）．
（3）∵P在x軸上，Q在y軸，
∴∠POQ=∠AOB=90°，
由運動知，CP=2t，AQ=2t，
∴OP=|2t-6|，OQ=|2t-4|，
當0＜t＜2時，OP=6-2t，OQ=4-2t，
以P、Q、O為頂點的三角形與△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=4-2t，
∴t=1
OP=OA=4=6-2t，
∴t=1，
∴滿足條件，即：t=1s
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=4-2t，
∴t=0，OP=OB=2=6-2t，
∴t=2，
∴不滿足條件，舍去；
當2＜t＜3時，OP=6-2t，OQ=2t-4，
以P、Q、O為頂點的三角形與△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=2t-4，
∴t=3，
OP=OA=4=6-2t，
∴t=1，
∴不滿足條件，舍去；
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=2t-4，
∴t=4，OP=OB=2=6-2t，
∴t=2，
∴不滿足條件，舍去；
當t＞3時，OP=2t-6，OQ=2t-4，
以P、Q、O為頂點的三角形與△AOB全等，
∴①△POQ≌△AOB，
∴OQ=OB=2=2t-4，
∴t=3
OP=OA=4=2t-6，
∴t=5，
∴不滿足條件，舍去；，
②△QOP≌△AOB，
∴OQ=OA=4=2t-4，
∴t=4，OP=OB=2=2t-6，
∴t=4，
∴滿足條件，即：t=4s
即：滿足條件的時間t=1s或4s．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的面積公式，全等三角形的判定，解本題的關鍵是分類討論，要考慮全面是解本題的難點．