Question

如圖，在直角梯形OABC中，CB∥OA，∠OAB=90°，點O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，對角線OB，AC相交于點M，OA=AB=4，OA=2CB．
（1）點C的坐標為

 

；
（2）求△OCM的面積；
（3）若點E在過O，A，C三點的拋物線的對稱軸上，點F為該拋物線上的點，且以A，O，F(xiàn)，E四點為頂點的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于AB為4，CB∥OA，則C點縱坐標為4，作CG⊥AO與x軸交于點G，結(jié)合OA=AB=4，OA=2CB即可得出C點坐標．
（2）根據(jù)△CMB∽△AMO，得出

BM

OM

=

BC

AO

=1：2；求出△BCM的面積為△OCM面積的一半，又根據(jù)△CBO面積為△BOA面積的一半，只要求出梯形OABC的面積即可求出△OCM的面積．
（3）先求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出F點橫坐標，將橫坐標代入解析式即可求出F點的縱坐標，注意，符合條件的F點不止一個．

解答：解：（1）如圖，作CG⊥AO與x軸交于點G，則CB=AG，
∵OA=2CB，
∴OA=2AG，
∵AO=4，
∴OG=2，
由于AB為4，CB∥OA，則C點縱坐標為4，
∴C（2，4）．

（2）∵AO=2CB，
∴2S_△CBO=S_△AOB，
∵S_梯形ABCO=

1

2

（CB+AO）•AB=

1

2

×（2+4）×4=12，
∴S_△CBO=12×

1

3

=4，
∵CB∥AO，
∴△CMB∽△AMO，
∴

CB

AO

=

BM

OM

，

CB

AO

=

1

2

，
則

BM

OM

=

1

2

，
∴S_△COM=

2

3

S_△COB=

2

3

×4=

8

3

；

（3）∵O（0，0），A（4，0），C（2，4），
∴設解析式為y=a（x-0）（x-4），
將（2，4）代入解析式得，4=a（2-0）（2-4），
解得a=-1．
則解析式為y=-（x-0）（x-4）=-x²+4x．
由圖可知F點橫坐標為2+4=6，
將x=6代入y=-（x-0）（x-4）=-x²+4x得，
y=-36+4×6=-12，
故F（6，-12）．
由圖可知F₁點橫坐標為2-4=-2，
將x=-2代入y=-（x-0）（x-4）=-x²+4x得，
y=-36+4×6=-12，
故F₁（-2，-12）．
當F與C重合時，F(xiàn)₂（2，4）．
故F點的坐標為：（6，-12），F(xiàn)₁（-2，-12），F(xiàn)₂（2，4）．

點評：此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和梯形及平行四邊形的性質(zhì)，將坐標與圖形相結(jié)合，使得這道題充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要性，同時要注意分類討論．