Question

已知：如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與直線相交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，直線與y軸交于點(diǎn)E．
（1）寫(xiě)出直線BC的解析式．
（2）求△ABC的面積．
（3）若點(diǎn)N在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向C運(yùn)動(dòng)（不與B、C重合），1秒后，點(diǎn)M在射線BA上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B向A運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，請(qǐng)求出t為何值時(shí)，△BOE與以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用拋物線，令y=0，解方程求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線BC的解析式求出b的值，即可得解；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)求出AB的長(zhǎng)度，再把拋物線解析式與直線BC的解析式聯(lián)立求解得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解；
（3）利用直線BC的解析式求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后求出OB、OE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列式求出BE的長(zhǎng)度，用t表示出BM、BN的長(zhǎng)度，然后根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似分兩種情況列出比例式求解即可．
解答：解：（1）令y=0，則-x²+3=0，
解得x₁=-2，x₂=2，
所以，點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），
所以，-×2+b=0，
解得b=，
所以，直線BC的解析式為y=-x+；

（2）∵點(diǎn)A（-2，0），B（2，0），
∴AB=2-（-2）=2+2=4，
聯(lián)立，
解得，（為點(diǎn)B坐標(biāo)，舍去），
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，），
所以，△ABC的面積=×4×=；

（3）存在．
令x=0，則y=，
所以，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，），
所以，OE=，
在Rt△OBE中，BE===，
設(shè)t秒時(shí)，△BOE與以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似，則BN=t，BM=2（t-1），
∵∠OBE=∠MBN，
∴=或=，
即=或=，
解得t=或t=，
故存在t=或t=時(shí)，△BOE與以B、M、N為頂點(diǎn)的三角形相似．
點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，主要考查了求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立連函數(shù)解析式求交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，（3）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等判定兩三角形相似，列出比例式是解題的關(guān)鍵，注意要分兩種情況．