Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD為斜邊AB上的高．
（1）求證：△ABC∽△ADC；
（2）若關(guān)于x的一元二次方程mx²-（m-2）x+

1

4

（m-1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，試求m的取值范圍；
（3）若（2）中方程的兩根恰好是Rt△ABC兩個(gè)銳角的正弦值，求Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)∠ADC=∠ACB=90°和∠A=∠A即可推出兩三角形相似；
（2）根據(jù)已知得出m≠0，b²-4ac=[-（m-2）]²-4•m•

1

4

（m-1）＞0，求出即可；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出sinA+sinB=

m-2

m

，sinA•sinB=

m-1

4m

，根據(jù)sin²A+sin²B=1推出（

m-2

m

）²-2×

m-1

4m

=1，求出m的值，代入方程即可得出答案．

解答：（1）證明：∵∠C=90°，CD為斜邊AB上的高，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADC；

（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程mx²-（m-2）x+

1

4

（m-1）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴m≠0，b²-4ac=[-（m-2）]²-4•m•

1

4

（m-1）＞0，
解得：m＜

4

3

且m≠0；

（3）解：設(shè)AC=b，BC=a，AB=c，AB上高CD=h，
∵由三角形的面積公式得：S_△ACB=

1

2

ab=

1

2

ch，
∴h=

ab

c

，
∴Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比是：

c

h

=

c

ab c

=

c2

ab

，
mx²-（m-2）x+

1

4

（m-1）=0，
則sinA+sinB=

m-2

m

，sinA•sinB=

m-1

4m

，
∵∠A+∠B=90°，
∴sin²A+sin²B=（

a

c

）²+（

b

c

）²=

a2+b2

c2

=1，
即（sinA+sinB）²-2sinA•sinB=1，
（

m-2

m

）²-2×

m-1

4m

=1，
整理得：m²+7m-8=0，
m=-8，m=1，
①當(dāng)m=-8時(shí)，方程為-8x²+10x-

9

4

=0，
32x²-40x+9=0，
sinA•sinB=

a

c

•

b

c

=

9

32

，
∴

ab

c2

=

9

32

，
即Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比是

32

9

；
②當(dāng)m=1時(shí)，方程為x²+x=0，
sinA•sinB=

a

c

•

b

c

=0，
∵∠A和∠B是△ACB的內(nèi)角，
∴此種情況不符合題意舍去，
綜合上述，Rt△ABC的斜邊與斜邊上的高的比是

32

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的面積，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目比較好，但是一道難度偏大的題目．