Question

13、設(shè)p和q都是大于3的質(zhì)數(shù)，求證：24|p²-q²．

Answer 1

分析：因?yàn)?4=3×8，只要證明3|p²-q²，8|p²-q²，問(wèn)題就可以解答．

解答：解：p和q都是大于3的質(zhì)數(shù)，而且都是奇數(shù)，設(shè)奇數(shù)為（2n+1）（n≥0，n為整數(shù)），則（2n+1）²=4n²+4n+1，
只要證得8能整除（4n²+4n）即可，
顯然4能整除（4n²+4n），而n²與n奇偶性相同，所以2能整除（n²+n），
因此8能整除（4n²+4n），所以可以得出（4n²+4n+1）被8除余1，
即奇數(shù)的平方被8除余1．
因此p²、q²可以表示為p²=8k+1，q²=8a+1（k．a(chǎn)都是正整數(shù)）；
則p²-q²=8（k-a），所以8|p²-q²；
p和q都是大于3的質(zhì)數(shù)，不能被3整除，因此可以表示為p=3m+1（或3m+2），q=3n+1（3n+2），（m，n均為正整數(shù)）；
①當(dāng)p=3m+1，q=3n+1時(shí)，p²-q²=3（3m²-3n²+2m-2n）能被3整除；
②當(dāng)p=3m+1，q=3n+2時(shí)，p²-q²=3（3m²-3n²+2m-4n-1）能被3整除；
③當(dāng)p=3m+2，q=3n+2時(shí)，p²-q²=3（3m²-3n²+4m-4n）能被3整除；
④當(dāng)p=3m+2，q=3n+1時(shí)，p²-q²=3（3m²-3n²+4m-2n+1）能被3整除；
所以3|p²-q²；
綜上所知24|p²-q²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要分兩步完成，證明p²-q²既能被3整除，又能被8整除，就可以解決問(wèn)題．