(2005•寧德)如圖是某居民小區(qū)的一塊直角三角形空地ABC,某斜邊AB=100米,直角邊AC=80米.現(xiàn)要利用這塊空地建一個矩形停車場DCFE,使得D點(diǎn)在BC邊上,E、F分別是AB、AC邊的中點(diǎn).
(1)求另一條直角邊BC的長度;
(2)求停車場DCFE的面積;
(3)為了提高空地利用律,現(xiàn)要在剩余的△BDE中,建一個半圓形的花壇,使它的圓心在BE邊上,且使花壇的面積達(dá)到最大,請你在原圖中畫出花壇的草圖,求出它的半徑(不要求說明面積最大的理由),并求此時直角三角形空地ABC的總利用率是百分之幾(精確到1%).

【答案】分析:(1)利用勾股定理可求出BC的長;
(2)由已知可得EF為△ABC的中位線,由中位線定理可知EF=BC=×60=30m,F(xiàn)C=AC=×80=40(米),可求出矩形的面積;
(3)如圖,當(dāng)花壇的面積達(dá)到最大時,半圓O與BD、DE相切,設(shè)切點(diǎn)分別為G、K,圓心為O,連接OG、OK,則OG⊥BD,OK⊥DE,OG=OK,即四邊形OGDK為正方形,設(shè)OG=x,易證△OBG∽△ABC,根據(jù)其邊長比可求出x的值,從而求出半圓的面積,得出結(jié)論.
解答:解:(1)由勾股定理得BC===60(米),
∴另一條直角邊BC的長為60米.

(2)由已知可得EF為△ABC的中位線,
∴EF=BC=×60=30(米),
又FC=AC=×80=40(米),
∴S矩形DCFE=EF•FC=30×40=1200(米2).

(3)如圖,當(dāng)花壇的面積達(dá)到最大時,半圓O與BD、DE相切,
設(shè)切點(diǎn)分別為G、K,圓心為O,
連接OG、OK,則OG⊥BD,OK⊥DE,OG=OK,
又∵∠BDE=90°,
∴四邊形OGDK為正方形.
設(shè)OG=x,
∵BD=BC-CD=60-30=30,
∴BG=BD-GD=30-x.
∵∠OGB=∠C=90°,∠B=∠B,
∴△OBG∽△ABC,
=
==,解得x=
∴當(dāng)花壇的面積達(dá)到最大時,其半徑為米.
∴直角三角形空地ABC的總利用率=[π(2+1200]÷(×80×60)≈69%.
點(diǎn)評:本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用及分析問題、解決問題的能力.
利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.解決此問題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.
練習(xí)冊系列答案
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(2005•寧德)如圖,直線y=kx+8分別與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求k的值;
(2)若P為y軸(B點(diǎn)除外)上的一點(diǎn),過P作PC⊥y軸交直線AB于C.設(shè)線段PC的長為l,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m).
①如果點(diǎn)P在線段BO(B點(diǎn)除外)上移動,求l與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;
②如果點(diǎn)P在射線BO(B、O兩點(diǎn)除外)上移動,連接PA,則△APC的面積S也隨之發(fā)生變化.請你在面積S的整個變化過程中,求當(dāng)m為何值時,S=4.

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(1)求k的值;
(2)若P為y軸(B點(diǎn)除外)上的一點(diǎn),過P作PC⊥y軸交直線AB于C.設(shè)線段PC的長為l,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m).
①如果點(diǎn)P在線段BO(B點(diǎn)除外)上移動,求l與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;
②如果點(diǎn)P在射線BO(B、O兩點(diǎn)除外)上移動,連接PA,則△APC的面積S也隨之發(fā)生變化.請你在面積S的整個變化過程中,求當(dāng)m為何值時,S=4.

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(2)若P為y軸(B點(diǎn)除外)上的一點(diǎn),過P作PC⊥y軸交直線AB于C.設(shè)線段PC的長為l,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,m).
①如果點(diǎn)P在線段BO(B點(diǎn)除外)上移動,求l與m的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量m的取值范圍;
②如果點(diǎn)P在射線BO(B、O兩點(diǎn)除外)上移動,連接PA,則△APC的面積S也隨之發(fā)生變化.請你在面積S的整個變化過程中,求當(dāng)m為何值時,S=4.

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