Question

如圖，分別以△ABC的邊AB，AC向外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，線段BE與CD相交于點(diǎn)O，連接OA．
（1）求證：BE=DC；
（2）求∠BOD的度數(shù)；
（3）求證：OA平分∠DOE．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，求出∠BAE=∠DAC．根據(jù)SAS證△ABE≌△ADC即可．
（2）根據(jù)全等求出∠ADC=∠ABE，在△DOB中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和∠ADB=∠DBA=60°即可求出答案．
（3）過點(diǎn)A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點(diǎn)M，N．根據(jù)三角形的面積公式求出AN=AM，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出即可．

解答：（1）證明：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠BDA=∠DBA=∠CAE=60°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAC+∠BAD，
即∠BAE=∠DAC．
在△ABE和△ADC中
∵

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC．

（2）解：由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴∠ADC=∠ABE
∴∠ADC+∠BDO=∠ABE+∠BDO=∠BDA=60°
∴在△BOD中，∠BOD=180°-∠BDO-∠DBA-∠ABE
=180°-∠DBA-（∠ADC+∠BDO）
=180°-60°-60°
=60°．

（3）證明：過點(diǎn)A分別作AM⊥BE，AN⊥DC，垂足為點(diǎn)M，N．
∵由（1）知：△ABE≌△ADC，
∴S_△ABE=S_△ADC
∴

1

2

•BE•AM=

1

2

•DC•AN
∴AM=AN
∴點(diǎn)A在∠DOE的平分線上，
即OA平分∠DOE．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用．