Question

（2012•錫山區(qū)一模）如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點為C（0，-

3

），與x軸交于點A、B，連接AC、BC，得等邊△ABC．T點從B點出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點A運動，同時點S從點C出發(fā)，以每秒

3

個單位的速度向y軸負方向運動，TS交射線BC于點D，當點T到達A點時，點S停止運動．設運動時間為t秒．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設△TSC的面積為S，求S關于t的函數(shù)解析式；
（3）以點T為圓心，TB為半徑的圓與射線BC交于點E，試說明：在點T運動的過程中，線段ED的長是一定值，并求出該定值．

Answer 1

分析：（1）已知△ABC是等邊三角形，且OC⊥AB，根據(jù)OC的長和等邊三角形的特點即可求得OA、OB的長，由此得到A、B點的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．
（2）△TCS的面積可由（

1

2

•OT•CS）求得，用t表示出OT、CS的長即可（注意t在不同的取值范圍內(nèi)，T的位置）．
（3）由題意，易知TB、TE都是⊙T的半徑，所以△TBE是等邊三角形，顯然有TB=TE=t，然后過D作y軸的垂線，通過構建的相似三角形可求得CD的長，然后利用線段間的和差關系來判斷DE的長是否為定值．

解答：解：（1）∵y=ax²+bx+c的頂點是（0，-

3

），
∴拋物線的對稱軸是y軸，
∴b=0，故可設拋物線的解析式是：y=ax²-

3

，
又∵三角形ABC是等邊三角形，且有CO⊥AB，CO=

3

∴AO=1，∴A（-1，0）
把點A代入y=ax²-

3

，得a=

3

∴拋物線的解析式是y=

3

x²-

3

．

（2）當0＜t＜1時，OT=1-t，CS=

3

t；
∴S=

1

2

OT•CS=

1

2

（1-t）

3

t=-

3

2

t²+

3

2

t；
當1＜t＜2時，OT=t-1，CS=

3

t；
∴S=

1

2

OT•CS=

1

2

（t-1）

3

t=

3

2

t²-

3

2

t；
綜上，S與t的函數(shù)關系式為：S=

- 3 2 t2+ 3 2 t  (0＜t＜1) 3 2 t2- 3 2 t     (1＜t＜2)

．

（3）當0＜t＜1，（如圖1）過D作DH⊥y軸，顯然有TB=TE，又∠B=60度，
∴三角形TBE為等邊三角形，
∴BE=TB=t，
∵△SDH∽△STO，設DH=a，
則有

DH

TO

=

SH

SO

，即

a

1-t

=

3 a+ 3 t

3 t+ 3

，
∴a=

1-t

2

，∴DC=1-t，
∴DE=CB-EB-DC=2-t-（1-t）=1．
當1＜t＜2，（如圖2）
同理，△SDH∽△STO，即有

a

t-1

=

3 t- 3 a

3 t+ 3

，a=

t-1

2

，DC=t-1，
∴DE=DC+CE=t-1+（2-t）=1．

點評：題目主要考查了函數(shù)解析式的確定、等邊三角形的性質、圖形面積的解法以及相似三角形的判定和性質等知識點；后兩題在解答過程中，一定要注意t的不同取值范圍內(nèi)點T的位置．