Question

（2010•海淀區(qū)二模）閱讀：D為△ABC中BC邊上一點(diǎn)，連接AD，E為AD上一點(diǎn)．
如圖1，當(dāng)D為BC邊的中點(diǎn)時(shí)，有S_△EBD=S_△ECD，S_△ABE=S_△ACE；
當(dāng)時(shí)，有．
解決問(wèn)題：
在△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，P為AB邊上的任意一點(diǎn)，CP交AD于點(diǎn)E、設(shè)△EDC的面積為S₁，△APE的面積為S₂．
（1）如圖2，當(dāng)時(shí)，的值為_(kāi)_____；
（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，的值為_(kāi)_____；
（3）若S_△ABC=24，S₂=2，則的值為_(kāi)_____．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知得，P為AB的中點(diǎn)，根據(jù)三角形三條中線交于一點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
（2）由于AD為中線，可知，∴S_△EBD=S_△ECD，S_△ABE=S_△ACE，根據(jù)“等高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊的比”，列出等式求；
（3）充分運(yùn)用（2）的結(jié)論，已知條件，列方程組求n，即的值．
解答：解：如圖：
（1）連接BE，延長(zhǎng)交AC于F．
∵D為BC中點(diǎn)，∴S_△EBD=S_△ECD，S_△ABE=S_△ACE，
∵P為AB上的一點(diǎn)，且，
∴F為AC的中點(diǎn)（三角形三條中線交于一點(diǎn)）．
∴S_△AEP=S_△BEP，S_△AEF=S_△CEF，S_△ABF=S_△CBF，
∵S_△ABF=S_△AEP+S_△BEP+S_△AEF=2S_△AEP+S_△AEF=S_△EBD+S_△ECD+S_△CEF=2S_△ECD+S_△CEF∴S_△AEP=S_△ECD，∴=1．


（2）當(dāng)時(shí)，S_△BPE=nS_△APE=nS₂，
S_△BEC=2S₁，S_△AEC=S_△AEB=（n+1）S₂，
由S_△BPC=nS_△APC，得
2S₁+nS₂=n（S₂+S₂+nS₂）
解得：=；

（3）當(dāng)S_△ABC=24，S₂=2，
由（2）的結(jié)論可知，，
解得n=2或-5（舍去負(fù)值）．
∴=2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中線等分面積的性質(zhì)，等高的兩個(gè)三角形面積比等于底邊的比的性質(zhì)．