Question

【題目】任意寫一個個位數(shù)字不為零的四位正整數(shù)A，將該正整數(shù)A的各位數(shù)字順序顛倒過來，得到四位正整數(shù)B，則稱A和B為一對四位回文數(shù)．例如A=2016，B=6102，則A和B就是一對四位回文數(shù)，現(xiàn)將A的回文數(shù)B從左往右，依次順取三個數(shù)字組成一個新數(shù)，最后不足三個數(shù)字時，將開頭的一個數(shù)字或兩個數(shù)字順次接到末尾，在組成三位新數(shù)時，如遇最高位數(shù)字為零，則去掉最高位數(shù)字，由剩下的兩個或一個數(shù)字組成新數(shù)，將得到的所有新數(shù)求和，把這個和稱為A的回文數(shù)B作三位數(shù)的和．例如將6102依次順取三個數(shù)字組成的新數(shù)分別為：610，102，26，261，它們的和為：610+102+26+261=999，把999稱為2016的回文數(shù)作三位數(shù)的和．

（1）請直接寫出一對四位回文數(shù)：猜想一個四位正整數(shù)的回文數(shù)作三位數(shù)的和能否被111整除？并說明理由；

（2）已知一個四位正整數(shù)（千位數(shù)字為1，百位數(shù)字為x且0≤x≤9，十位數(shù)字為1，個位數(shù)字為y且0≤y≤9）的回文數(shù)作三位數(shù)的和能被27整除，請求出x與y的數(shù)量關系．

Answer 1

【答案】（1）例如A=1234和B=4321是一對四位回文數(shù)，理由見解析；

（2）x+y=7或x+y=16．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)回文數(shù)的概念解答即可；

（2）根據(jù)整式的混合運算法則解答即可．

試題解析：(1)一個四位正整數(shù)和回文數(shù)作三位數(shù)的和能否被111整除。

例如A=1234和B=4321是一對四位回文數(shù)，

將4321依次順取三個數(shù)字組成的新數(shù)分別為：432，321，214，143，它們的和為432+321+214+143=1110，

1110能被111整除；

(2)正整數(shù)1x1y的回文數(shù)是y1x1，

則回文數(shù)作三位數(shù)的和為：100y+10+x+100+10x+1+100x+10+y+100+10y+1=100x+100y+222=111(x+y+2)，

由題意得，x+y+2=27，

則x+y=25.