Question

【題目】如圖，射線PA切⊙O于點A，連接PO．

（1）在PO的上方作射線PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫作法），并證明：PC是⊙O的切線；
（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點B，AB=AP=4，求的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作圖如右圖，

連接OA，過O作OB⊥PC，

∵PA切⊙O于點A，

∴OA⊥PA，

又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，

∴OA=OB，即d=r，

∴PC是⊙O的切線；

（2）

解：∵PA、PC是⊙O的切線，

∴PA=PB，

又∵AB=AP=4，

∴△PAB是等邊三角形，

∴∠APB=60°，

∴∠AOB=120°，∠POA=60°，

在Rt△AOP中，tan60°=

∴OA=

∴==．

【解析】（1）按照作一個角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據(jù)角平分線的性質證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線；
（2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長公式計算即可．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用弧長計算公式的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的．