Question

【題目】如圖，射線(xiàn)PA切⊙O于點(diǎn)A，連接PO．

（1）在PO的上方作射線(xiàn)PC，使∠OPC=∠OPA（用尺規(guī)在原圖中作，保留痕跡，不寫(xiě)作法），并證明：PC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）在（1）的條件下，若PC切⊙O于點(diǎn)B，AB=AP=4，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作圖如右圖，

連接OA，過(guò)O作OB⊥PC，

∵PA切⊙O于點(diǎn)A，

∴OA⊥PA，

又∵∠OPC=∠OPA，OB⊥PC，

∴OA=OB，即d=r，

∴PC是⊙O的切線(xiàn)；

（2）

解：∵PA、PC是⊙O的切線(xiàn)，

∴PA=PB，

又∵AB=AP=4，

∴△PAB是等邊三角形，

∴∠APB=60°，

∴∠AOB=120°，∠POA=60°，

在Rt△AOP中，tan60°=

∴OA=

∴==．

【解析】（1）按照作一個(gè)角等于已知角的作圖方法作圖即可，連接OA，作OB⊥PC，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)證明OA=OB即可證明PC是⊙O的切線(xiàn)；
（2）首先證明△PAB是等邊三角形，則∠APB=60°，進(jìn)而∠POA=60°，在Rt△AOP中求出OA，用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用弧長(zhǎng)計(jì)算公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，則l=nπr/180;注意：在應(yīng)用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數(shù)，它是不帶單位的．