Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與y軸正半軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A（2，0）、B（8，0），∠OCA=∠OBC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)確定點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若存在一點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的距離相等，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）本題的關(guān)鍵是求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)∠OCA=∠OBC易證得三角形OAC與三角形OCB相似，可得出OC²=OA•OB，由此可求得OC的長(zhǎng)，即可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線中即可求出該二次函數(shù)的解析式．
（2）分三種情況，如圖：
（3）根據(jù)題意可知：點(diǎn)P實(shí)際是三角形ABC的內(nèi)心，因此P必在AB的垂直平分線上，據(jù)此可求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后設(shè)出其縱坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)系兩點(diǎn)間的距離公式，表示出PC和PA的長(zhǎng)，已知了PC=PA，據(jù)此可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC
∴△AOC∽△COB
∴OC²=AO•BO=2×8=16
∴OC=4
∴C（0，4）
由題意，設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-2）（x-8）
∴a（0-2）（0-8）=4
∴a=

1

4

∴y=

1

4

x²-

5

2

x+4

（2）M₁（6，4）或M₂（-6，4）或M₃（10，-4）

（3）∵點(diǎn)P到點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)的距離相等，
∴點(diǎn)P為線段AB、AC中垂線的交點(diǎn)．
由已知易求出線段AB中垂線的直線方程是：x=5．
設(shè)P（5，y），
∵點(diǎn)P在線段AC的中垂線上，
∴PC=PA
∴（5-0）²+（y-4）²=（5-2）²+y²
解得y=4
∴P（5，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)心坐標(biāo)的求法等知識(shí)點(diǎn)．