Question

如圖1，已知點D在A上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點M為BC的中點

（1）求證：△BMD為等腰直角三角形．

（2）將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，如圖2中的“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請說明理由．

（3）將△ADE繞點A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖3中的“△BMD為等腰直角三角形”是否均成立？說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，推出BM=DM，BM=CM，DM=CM，推出∠BCM=∠MBC，∠ACM=∠MDC，求出∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=90°即可．

（2）延長ED交AC于F，求出DM=FC，DM∥FC，∠DEM=NCM，根據(jù)ASA推出△EDM≌△CNM，推出DM=BM即可．

（3）過點C作CF∥ED，與DM的延長線交于點F，連接BF，推出△MDE≌△MFC，求出DM=FM，DE=FC，作AN⊥EC于點N，證△BCF≌△BAD，推出BF=BD，∠DBA=∠CBF，求出∠DBF=90°，即可得出答案．

試題解析：（1）證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠ACB=∠BAC=45°∠ADE=∠EBC=∠EDC=90°，

∵點M為BC的中點，

∴BM=EC，DM=EC，

∴BM=DM，BM=CM，DM=CM，

∴∠BCM=∠MBC，∠DCM=∠MDC，

∴∠BME=∠BCM+∠MBC=2∠BCE，

同理∠DME=2∠ACM，

∴∠BMD=2∠BCM+2∠ACM=2∠BCA=2×45°=90°

∴△BMD是等腰直角三角形．

（2）如圖2，△BDM是等腰直角三角形，

理由是：延長ED交AC于F，

∵△ADE和△ABC是等腰直角三角形，

∴∠BAC=∠EAD=45°，

∵AD⊥ED，

∴ED=DF，

∵M為EC中點，

∴EM=MC，

∴DM=FC，DM∥FC，

∴∠BDN=∠BND=∠BAC=45°，

∵ED⊥AB，BC⊥AB，

∴ED∥BC，

∴∠DEM=NCM，

在△EDM和△CNM中

∴△EDM≌△CNM（ASA），

∴DM=MN，

∴BM⊥DN，

∴△BMD是等腰直角三角形．

（3） △BDM是等腰直角三角形，

理由是：如圖：過點C作CF∥ED，與DM的延長線交于點F，連接BF，

可證得△MDE≌△MFC，

∴DM=FM，DE=FC，

∴AD=ED=FC，

作AN⊥EC于點N，

由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，

可證得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，

∵CF∥ED，

∴∠DEN=∠FCM，

∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，

∴△BCF≌△BAD，

∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，

∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∵點M是DF的中點，

則△BMD是等腰直角三角形，

考點: 1.全等三角形的判定與性質(zhì)；2.直角三角形斜邊上的中線；3.等腰直角三角形.