Question

已知四邊形ABCD是正方形，M、N分別是邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4cm．

（1）如圖①，O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，若OM⊥ON，求四邊形MONC的面積；
（2）如圖②，若∠MAN=45°，求△MCN的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1根據(jù)正方形性質(zhì)得出OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，求出∠NOC=∠BOM，根據(jù)ASA證△NOC≌△MOB，得出四邊形MONC的面積等于三角形COB的面積，根據(jù)正方形的面積求出即可；
（2）延長(zhǎng)CB到Q使BQ=DN，連接AQ，根據(jù)SAS證△DAN≌△BAQ，求出AN=AQ，∠DAN=∠BAQ，求出∠NAM=∠MOQ=45°，根據(jù)SAS證△NAM≌△QAM，推出DN+BM=MN，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)得出△CNM的周長(zhǎng)等于DC+BC，代入求出即可．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC=OB，∠DCO=∠CBO=45°，∠COB=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠NOM=90°，
∴∠COB-∠COM=∠NOM-∠COM，
∴∠CON=∠BOM，
∵在△CON和△BOM中

∠NCO=∠MBO OC=OB ∠NOC=∠MOB

，
∴△CON≌△BOM（ASA），
∴S_△NCO=S_△BOM，
∴S_{四邊形MONC}
=S_△NOC+S_△COM
=S_△BOM+S_△COM
=S_△COB=

1

4

S_{正方形ABCD}
=

1

4

×4cm×4cm
=4cm²，
答：四邊形MONC的面積是4cm²．
（2）
解：延長(zhǎng)CB到Q，使BQ=DN，連接AQ，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=∠ABQ=90°，
∵在△ADN和△ABQ中

AD=AB ∠D=∠ABQ DN=BQ

，
∴△ADN≌△ABQ（SAS），
∴∠DAN=∠BAQ，AN=AQ，
∵∠DAB=90°，∠MAN=45°，
∴∠DAN+∠BAM=45°，
∴∠BAM+∠QAB=45°，
即∠MAN=∠MAQ，
∵在△MAN和△MAQ中

AN=AQ ∠NAM=∠MAQ AM=AM

，
∴△MAN≌△MAQ，
∴MN=MQ=DN+BM，
∴△MCN的周長(zhǎng)是：CN+MN+CM
=CN+DN+BM+CM
=DC+BC
=4cm+4cm
=8cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是考查學(xué)生的推理能力，題目具有一定的代表性，是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度．