【答案】
分析:(1)由已知和勾股定理先求出BC,再由D,E分別是AC,BC的中點(diǎn),求出AD、DE、BE,從而求出t;
(2)先求出當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)所用時(shí)間,得出AQ的長,即可求出BQ的長,再根據(jù)△BPQ的面積=

BQ•AP進(jìn)行計(jì)算即可;
(3)由已知用t表示出AQ、AP、BQ,再由∠A=90°,通過面積公式求出S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)通過假設(shè),分兩種情況討論即可求解.
解答:解:(1)已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,
由勾股定理得:BC=

=

=10,
又由D,E分別是AC,BC的中點(diǎn),
∴AD=4,DE=3,BE=5,
∴當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)B時(shí)所用時(shí)間t=(4+3+5)÷3=4(秒),
答t的值為4秒.
(2)

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí),所用時(shí)間為

秒,
所以AQ=

×2=

,
∴BQ=6-

=

,
∴△BPQ的面積=

BQ•AP=

×4=

;
(3)①如圖,當(dāng)點(diǎn)P在AD上(不包含D點(diǎn)),
由已知得:AQ=2t,AP=3t,
∴BQ=AB-AQ=6-2t,

已知∠A=90°,
∴△BPQ的面積S=

BQ•AP=

(6-2t)•3t=-3t
2+9t,
所以Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=-3t
2+9t.
②如圖當(dāng)點(diǎn)P在DE(包括點(diǎn)D、E)上,
過點(diǎn)P作PF⊥AB于F,
則PF=AD=4,
∴△BPQ的面積S=

BQ•PF=

(6-2t)•4=12-4t,
所以此時(shí)Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=12-4t.
③當(dāng)點(diǎn)P在BE上(不包括E點(diǎn)),

由已知得:BP=3+4+5-3t=12-3t,
過點(diǎn)P作PF⊥AB于F,
∴PF∥AC,
∴△BPF∽△BCA,
∴

=

,
∴

=

,
∴PF=

,
∴△BPQ的面積S=

BQ•PF=

(6-2t)•

=

-

t+

,
所以Q在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),S與t的函數(shù)關(guān)系式為S=

-

t+

,
(4)若PQ∥DB,則點(diǎn)P、Q必在DB同側(cè).分兩種情況:
①當(dāng)點(diǎn)Q在AB上,點(diǎn)P在AD上時(shí),

假設(shè)PQ∥DB成立,
則△AQP∽△ABD,
∴

=

,
∴

=

,
此時(shí)方程的解是t=0,但此解不符合題意,
則PQ∥DB不成立,
②當(dāng)3<t<4時(shí),點(diǎn)Q在AB延長線上,點(diǎn)P在EB上,

此時(shí)PB=12-3t,PC=3t-7,BQ=2t-6.
若PQ∥DB,設(shè)直線PQ交DE與N,
∵DE∥AB,
∴△PEN∽△PBQ,
∴EN:BQ=PE:PB,
則EN=

;
又∵NQ∥DB,
∴EN:ED=EP:EB,
則EN=

,
所以

=

,
解得t=

符合題意.
綜上所述,當(dāng)t=

時(shí),PQ∥DB.
點(diǎn)評:此題考查的知識(shí)點(diǎn)是勾股定理、三角形中位線定理及相似三角形的判定與性質(zhì),關(guān)鍵是通過勾股定理三角形中位線定理求解,以及通過假設(shè)推出錯(cuò)誤結(jié)論論證.