如圖,在四邊形ABCD中,∠BAC=∠ACD=90°,∠B=∠D.

(1)求證:四邊形ABCD是平行四邊形;

(2)若AB=3cm,BC=5cm,AE=AB,點P從B點出發(fā),以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運動至A點停止,則從運動開始經(jīng)過多少時間,△BEP為等腰三角形?

 

【答案】

(1)△ABC≌△CDA,

∴AD=BC,AB=CD,

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(2)從運動開始經(jīng)過2s或s或s或s時,△BEP為等腰三角形

【解析】

試題分析:(1)證明:∵在△ABC和△CDA中

∴△ABC≌△CDA,

∴AD=BC,AB=CD,

∴四邊形ABCD是平行四邊形.

(2)解:∵∠BAC=90°,BC=5cm,AB=3cm,′

由勾股定理得:AC=4cm,

即AB、CD間的最短距離是4cm,

∵AB=3cm,AE=AB,

∴AE=1cm,BE=2cm,

設(shè)經(jīng)過ts時,△BEP是等腰三角形,

當(dāng)P在BC上時,

①BP=EB=2cm,

t=2時,△BEP是等腰三角形;

②BP=PE,

作PM⊥AB于M,

∴BM=ME=BE=1cm

∵cos∠ABC===,

∴BP=cm,

t=時,△BEP是等腰三角形;

③BE=PE=2cm,

作EN⊥BC于N,則BP=2BN,

∴cosB==

=,

BN=cm,

∴BP=,

∴t=時,△BEP是等腰三角形;

當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形,

∵AB、CD間的最短距離是4cm,CA⊥AB,CA=4cm,

當(dāng)P在AD上時,只能BE=EP=2cm,

過P作PQ⊥BA于Q,

∵平行四邊形ABCD,

∴AD∥BC,

∴∠QAD=∠ABC,

∵∠BAC=∠Q=90°,

∴△QAP∽△ABC,

∴PQ:AQ:AP=4:3:5,

設(shè)PQ=4xcm,AQ=3xcm,

在△EPQ中,由勾股定理得:(3x+1)2+(4x)2=22,

∴x=,

AP=5x=cm,

∴t=5+5+3﹣=,

答:從運動開始經(jīng)過2s或s或s或s時,△BEP為等腰三角形.

考點:平行四邊形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的性質(zhì);勾股定理;相似三角形的判定與性質(zhì).

點評:本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)和判定,相似三角形的性質(zhì)和判定.全等三角形的性質(zhì)和判定,勾股定理,等腰三角形的性質(zhì),勾股定理等知識點的理解和掌握,綜合運用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

 

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