Question

不超過(guò)(

5

+

3

)6的最大整數(shù)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,二次根式的混合運(yùn)算

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)完全平方公式求得(

5

+

3

)6=(8+2

15

)3，然后利用換元法設(shè)令8+2

15

=a，8-2

15

=b；經(jīng)計(jì)算知，a，b是方程x²-16x+4=0的兩個(gè)根，然后根據(jù)根與系數(shù)是關(guān)系解得a³、b³；再利用立方差公式解得a³+b³=16（a²+b²）-4（a+b）=3904，利用b的取值范圍來(lái)解答問(wèn)題．

解答：解：(

5

+

3

)6=(8+2

15

)3，
令8+2

15

=a，8-2

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=b，
得a+b=16，ab=4，a，b是方程x²-16x+4=0的兩個(gè)根，
故得a²=16a-4，b²=16b-4；
a³=16a²-4a，b³=16b²-4b；
∴a³+b³=16（a²+b²）-4（a+b）=16【16（a+b）一8】-4（a+b）=252（a+b）-128=3904．
∵0＜b＜1，∴0＜b³＜1，
∴a³的最大整數(shù)值不超過(guò)3903．
故答案是：3903．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、二次根式的混合運(yùn)算．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．