(2013•高要市二模)已知:如圖,拋物線經(jīng)過點O、A、B三點,四邊形OABC是直角梯形,其中點A在x軸上,點C在y軸上,BC∥OA,A(12,0)、B(4,8).
(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)D為OA的中點,動點P自A點出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動,若線段PD將梯形OABC的面積分成1﹕3兩部分,求此時P點的坐標.
分析:(1)設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax(x-12)+(a≠0),把A(12,0)、B(4,8)、C(0,0)三點代入即可求出a的值,進而得出該拋物線的解析式;
(2)過點B作BF⊥x軸于點F,先求出COAB的面積,由于點P的位置不能確定,故應(yīng)分兩種情況進行討論:①當點P在AB上時,設(shè)點P的坐標為(x,y),由②當點P在OC上時,設(shè)點P的坐標為(0,y)求出滿足題意的x和y的值即可得到P的坐標.
解答:(1)解:∵拋物線經(jīng)過O(0,0)、A(12,0)、B(4,8),
∴設(shè)拋物線的解析式為:y=ax(x-12)…(1分)
∴將點B的坐標代入,得:8=4a(4-6),解得:a=-
1
4
,
∴所求拋物線的關(guān)系式為:y=-
1
4
x(x-12)=-
1
4
x2+3x


(2)解:過點B作BF⊥x軸于點F,
∵BF=8,AF=12-4=8
∴∠BAF=45°
∴S梯形OABC=
1
2
(4+12)×8=64
,
∴面積分成1﹕3兩部分,即面積分成16:48,
由題意得,動點P整個運動過程分三種情況,當點P在BC上時,
由于∵S△ABD=
1
2
×6×8=24 > 16

∴點P在BC上不能滿足要求.
①點P在AB上,設(shè)P(x,y)
由S△APD=16,得
1
2
×AD×y=
1
2
×6×y=16

∴y=
16
3
…(6分)
過P作PE⊥x軸于點E,由∠BAF=45°
∴AE=PE=
16
3
,
∴x=12-
16
3
=
20
3

P(
20
3
,
16
3
)
滿足要求.   
②點P在OC上,設(shè)P(0,y).
∵S△APD=
1
2
×AD×y=
1
2
×6×y=16

∴y=
16
3

∴P(0,
16
3
)
滿足要求.
點評:本題考查的是二次函數(shù)綜合題,此題涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、梯形的面積公式及三角形的面積公式,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出三角形及梯形的高是解答此題的關(guān)鍵.
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