Question

已知拋物線y=x²，直線y=（k+2）x-（2k-1）
（1）求證：無論k為什么實數(shù)，該拋物線與直線恒有兩個交點；
（2）設(shè)兩個交點分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），若x₁，x₂均為整數(shù)，求k的值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：（1）直接根據(jù)整理出關(guān)于x的一元二次方程，再利用b²-4ac的符號確定得出即可；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系以及x₁，x₂均為整數(shù)，進而得出答案．

解答：（1）證明：當x²=（k+2）x-（2k-1）時，
整理得出：x²-（k+2）x+（2k-1）=0，
b²-4ac=（k+2）²-4（2k-1）=k²-4k+8=（k-2）²+4，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0，
∴無論k為什么實數(shù)，該拋物線與直線恒有兩個交點；

（2）解：∵x²-（k+2）x+（2k-1）=0，
∵x₁，x₂均為整數(shù)，
∴x₁+x₂=k+2，x₁•x₂=2k-1都是整數(shù)，
∴k也為整數(shù)，（k-2）²+4也是整數(shù)且是完全平方數(shù)，
∴（k-2）²+4=4，
∴解得：k=2．

點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及配方法的應(yīng)用，正確得出k也是整數(shù)是解題關(guān)鍵．