Question

設(shè)x，y為實數(shù)，滿足x+y=1，x4+y4=

7

2

，則x²+y²的值是

 

．

Answer 1

考點：完全平方公式,解一元二次方程-因式分解法

專題：計算題

分析：根據(jù)完全平方公式有（x²+y²）²=x⁴+y⁴+2x²y²，把x⁴+y⁴=

7

2

，且設(shè)x²+y²=t＞0，則t²=2x²y²+

7

2

，再把x+y=1兩邊平方得到x²+2xy+y²=1，則xy=

1-t

2

，這樣可得到關(guān)于t的一元二次方程t²=2•（

1-t

2

）²+

7

2

，整理、解方程得到t₁=2，t₂=-4，然后根據(jù)x²+y²=t＞0檢驗即可得到x²+y²的值．

解答：解：∵（x²+y²）²=x⁴+y⁴+2x²y²，
而x⁴+y⁴=

7

2

，
設(shè)x²+y²=t＞0，
∴t²=2x²y²+

7

2

，
又∵x+y=1，
∴（x，+y）²=x²+2xy+y²=1，
∴xy=

1-t

2

，
∴t²=2•（

1-t

2

）²+

7

2

，
∴t²+2t-8=0，即（t-2）（t+4）=0，
∴t₁=2，t₂=-4，
當(dāng)t=-4時，x²+y²=-4無意義，
∴t=2，即x²+y²=2．
故答案為2．

點評：本題考查了完全平方公式：（a±b）²=a²±2ab+b²．也考查了利用因式分解法解一元二次方程以及換元法思想的運用．