(2005•湖州)如圖,已知直角坐標系內(nèi)的梯形AOBC(O為原點),AC∥OB,OC⊥BC,OA=2,AC,OB的長是關于x的方程x2-(k+2)x+5=0的兩個根,且S△AOC:S△BOC=1:5.
(1)填空:0C=______
【答案】分析:(1)由于AC,OB是關于x的方程x2-(k+2)x+5=0的兩個根,則AC•OB=5,根據(jù)S△AOC:S△BOC=1:5,又可得出OB=5AC,因此可得出OB=5,AC=1.k+2=AC+OB=6,因此k=4;在直角三角形ACO中,根據(jù)OA=2,AC=1即可根據(jù)勾股定理求得OC=
(2)可根據(jù)O,C,B三點的坐標用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式.
(3)本題要先求出CD的距離,關鍵是求出D的坐標,可根據(jù)直線AC的解析式和(2)得出的拋物線的解析式求出D點的坐標,然后用時間t表示出QD,CQ,OP,PB的長.
①如果MP⊥OB,此時四邊形AOPQ是矩形,那么AQ=OP,可據(jù)此求出t的值.
②如果PM⊥BM,可延長QM交OB于N,則MN⊥OB,如果過C作OB的垂線設垂足為E,那么NE=CD-QD,可用含t的式子表示出NE的長,進而可表示出BN,NP的長,然后根據(jù)MN∥CE,依據(jù)平行線分線段成比例定理可得出MN:OC=BN:BE,可求出MN的長,在直角三角形BPM中由于MN⊥PB,可根據(jù)射影定理得出關于t的方程,從而求出t的值.
綜上所述可求得符合條件的t的值.
解答:解:(1),4.

(2)由題意得C(1,2),B(5,O),
設所求拋物線解析式為y=ax(x-5),
a=-
y=-x2+x.

(3)直線AC:y=2.
直線AC與拋物線交于點C,D.
解得x1=1,x2=4.
∴CD=3.延長QM交x軸于點N.
①若MP⊥OB,則四邊形AOPQ是矩形,
∴AQ=OP,
∴4-t=t,且t=2.
②若PM⊥BM,則MN2=PN•BN.


PN=5-(1+t)-t=4-2t,BN=1+t,
∴(2=(4-2t)(1+t),
∴t1=-1(舍去),t2=
綜上所得,當t=2(秒),或t=(秒)時,△PMB是直角三角形.
點評:本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識點,綜合性強,考查學生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.
練習冊系列答案
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C.
D.1

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