Question

已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，以AB為直徑在正方形內作半圓，P是半圓上的動點，連結PA、PB、PC、PD．
（1）如圖，設PD²=x，當x=

 

時，∠PAB=60°；
（2）若△PAD是等腰三角形，求PA的長度．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的性質,含30度角的直角三角形,勾股定理,正方形的性質

專題：

分析：（1）由AB是直徑，可得∠APB=90°，然后利用勾股定理即可求得PA的長；
（2）分別從當PA=PD，PA=AD，AD=PD時，△PAD是等腰三角形，然后由等腰三角形的性質與射影定理即可求得答案．

解答：解：（1）過點E作PE⊥AD于點E，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，AD=AB=4，
若∠PAB=60°，則需∠PAD=30°，
∵AB是直徑，
∴∠APB=90°，
∴∠ABP=30°，
∴PA=

1

2

AB=2，
∴PE=

1

2

PA=1，
∴AE=

PA2-PE2

=

3

，
∴DE=AD-AE=4-

3

，
∴PD²=PE²+DE²=20-8

3

；
故答案為：20-8

3

；

（2）①當PA=PD時，
此時P位于四邊形ABCD的中心，
過點P作PE⊥AD于E，作PM⊥AB于M，
則四邊形EAMP是正方形，
∴PM=PE=

1

2

AB=2，
∵PM²=AM•BM=4，
∵AM+BM=4，
∴AM=2，
∴PA=2

2

，
②當PA=AD時，PA=4；
③當PD=DA時，以點D為圓心，DA為半徑作圓與弧AB的交點為點P．
連PD，令AB中點為O，再連DO，PO，DO交AP于點G，
則△ADO≌△PDO，
∴DO⊥AP，AG=PG，
∴AP=2AG，
又∵DA=2AO，
∴AG=2OG，
設AG為2x，OG為x，
∴（2x）²+x²=4，
∴x=

2 5

5

，
∴AG=2x=

4 5

5

，
∴PA=2AG=

8 5

5

；
∴PA=2

2

或4或

8 5

5

．

點評：此題考查了正方形的性質，圓周角的性質以及勾股定理等知識．此題綜合性很強，解題時要注意數形結合與方程思想的應用．