Question

【題目】將一個(gè)直角三角形紙片ABO放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（，0），B（0，1），O（0，0）．

（1）點(diǎn)P為邊OA上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，O重合），沿BP將紙片折疊得A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′．邊BA′與x軸交于點(diǎn)Q．

①如圖1，當(dāng)點(diǎn)A′剛好落在y軸上時(shí)，求點(diǎn)A′的坐標(biāo)．

②如圖2，當(dāng)A′P⊥OA，若線(xiàn)段OQ在x軸上移動(dòng)得到線(xiàn)段O′Q′（線(xiàn)段OQ平移時(shí)A′不動(dòng)），當(dāng)△A′O′Q′周長(zhǎng)最小時(shí)，求OO′的長(zhǎng)度．

（2）如圖3，若點(diǎn)P為邊AB上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A，B重合），沿OP將紙片折疊得A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A″，當(dāng)∠BPA″＝30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）①A'（0，﹣1）；②1﹣；（2）P（，）．

【解析】

（1）①先利用勾股定理求出，利用折疊求出，再利用線(xiàn)段的和差求出即可得出結(jié)論；

②先由折疊求出，進(jìn)而求出，即可求出，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出直線(xiàn)的解析式，求出OQ的長(zhǎng)度，最后用等腰三角形的三線(xiàn)合一即可得出結(jié)論；

（2）先求出，再構(gòu)造直角三角形，建立方程即可求出結(jié)論.

（1）

，由勾股定理得

①由折疊知，

；

②

由折疊知，

∴直線(xiàn)的解析式為

令，得，

∵線(xiàn)段OQ在x軸上移動(dòng)得到線(xiàn)段（線(xiàn)段OQ平移時(shí)不動(dòng)），要周長(zhǎng)最小

則是的垂直平分線(xiàn)，P是垂足，

；

（2）如圖，在中，

由折疊知，

過(guò)點(diǎn)P作于G

在中，

設(shè)

在中，

在中，

又

解得

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.