Question

（2013•長(zhǎng)寧區(qū)一模）如圖，已知Rt△ABC，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以1cm/秒的速度沿AB向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，以x cm/秒的速度沿AC向C點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，且P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t 秒（

1

2

），連接PQ．解答下列問題：
（1）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn)時(shí)，若恰好PQ∥BC，求此時(shí)x的值；
（2）求當(dāng)x為何值時(shí)，△ABC∽△APQ；
（3）當(dāng)△ABC∽△APQ時(shí)，將△APQ沿PQ翻折，A點(diǎn)落在A′，設(shè)△A′PQ與△ABC重疊部分的面積為S，寫出S關(guān)于t的函數(shù)解析式及定義域．

Answer 1

分析：（1）PQ∥BC，P是AB的中點(diǎn)，則Q一定是AC的中點(diǎn)，求得AQ的長(zhǎng)，則速度x即可求得；
（2）△ABC∽△APQ，則一定有PQ∥BC，即與（1）相同，即可求得x的值；
（3）根據(jù)（2）中所求，再分0＜t≤4和4＜t＜8兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)0＜t≤4時(shí)重合部分就是△A′PQ；當(dāng)4＜t＜8時(shí)，重合部分是直角梯形，根據(jù)梯形的面積公式即可求解．

解答：解：（1）設(shè)AP=t，AQ=xt （0≤t≤8）∵AB=8  AP=

1

2

AB=4  即t=4  
∵Rt△ABC，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm
∴AC=10 cm 
∵PQ∥BC
∴

AP

AB

=

AQ

AC

即

4

8

=

4x

10

解得：x=

5

4

（2）①若∠APQ=∠ABC，則BC∥PQ，此時(shí)與（1）相同，x=

5

4

；
 ②若∠APQ=∠C，則

AP

AC

=

AQ

AB

，即

t

10

=

xt

8

，
解得，x=

4

5

．
綜上可得當(dāng)x=

4

5

或

5

4

時(shí)，△ABC∽△APQ．

（3）當(dāng)x=

5

4

時(shí)，
∵BC∥PQ，
∴

AP

AB

=

PQ

BC

，
∴PQ=

AP•BC

AB

=

6t

8

=

3

4

t，
則當(dāng)0＜t≤4時(shí)，重疊部分的面積為S=S_△A′PQ=S_△APQ=

1

2

AP•PQ=

1

2

t•

3

4

t=

3

8

t²；
當(dāng)4＜t≤8時(shí)，如圖1所示，則A′P=AP=t，PQ=

3

4

t，
∴BP=AB-AP=8-t，
則A′B=t-（8-t）=2t-8，
∵BD∥PQ，
∴

BD

PQ

=

A′B

A′P

∴BD=

(2t-8)• 3 4 t

t

=

3

2

（t-4），
∴S=S_{四邊形BDQP}=

1

2

（BD+PQ）•BP=

1

2

[

3

2

（t-4）+

3

4

t]•（8-t）=-

9

8

t²+12t-24，
 則函數(shù)解析式是：S=

3 8 t2(0＜t≤4) - 9 8 t2+12t-24(4＜t≤8)

．
當(dāng)x=

4

5

時(shí)，同理可得出S=

6 25 t2(0＜t≤ 25 4 ) - 342 175 t2+ 192 7 t- 600 7 ( 25 4 ＜t≤8)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確分情況討論，因求得x的值是關(guān)鍵．