Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，P是射線BC上的一個動點，過點P作PE⊥AP，交射線DC于點E，射線AE交射線BC于點F，設(shè)BP=a．

（1）當(dāng)點P在線段BC上時（點P與點B，C都不重合），試用含a的代數(shù)式表示CE；

（2）當(dāng)a=3時，連結(jié)DF，試判斷四邊形APFD的形狀，并說明理由；

（3）當(dāng)tan∠PAE=時，求a的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）y=，自變量的取值范圍為：0＜a＜5；

（2）四邊形APFD是菱形，證明見解析；

（3）a=3或7．

【解析】

試題分析：（1）設(shè)CE=y,PC在BC上運動時，要求y關(guān)于a的函數(shù)解析式，只需要用勾股定理表示PE2=PC2+EC2就可以使問題到解決，而關(guān)鍵是解決PE2，又在Rt△APE中由勾股定理求得，從而解決問題；

（2）先證明四邊形APFD是平行四邊形，再證得四邊形APFD是菱形；

（3）由條件可以證明△ABP∽△PCE，可以得到=2，再分情況討論，從而求出a的值．

試題解析：（1）設(shè)CE=y

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=CD=4，BC=AD=5，∠B=∠BCD=∠D=90°，

∵BP=a，CE=y，

∴PC=5﹣a，DE=4﹣y，

∵AP⊥PE，

∴∠APE=90°，∠APB+∠CPE=90°，

∵∠APB+∠BAP=90°，

∴∠CPE=∠BAP，

∴△ABP∽△PCE，

∴，

∴，

∴y=，自變量的取值范圍為：0＜a＜5；

（2）當(dāng)a=3時，y=，即CE=，

∴DE=，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD平行于BF．

∴△AED∽△FEC，

∴，

∴，

∴CF=3，

∴PF=PC+CF=5，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴四邊形APFD是平行四邊形，

在Rt△APB中，

AB=4，BP=3，∠B=900

∴AP=5=PF，

∴四邊形APFD是菱形；

（3）根據(jù)tan∠PAE=，可得：=2

易得：△ABP∽△PCE

∴=2

于是：=2或=2

解得：a=3，y=1.5或 a=7，y=3.5．

∴a=3或7．

考點：1.相似三角形的判定與性質(zhì),2.矩形的性質(zhì),3.解直角三角形．