Question

在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿A?B?C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接DM交AC于點(diǎn)N．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在AB邊上時(shí)，連接BN：
①求證：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求點(diǎn)M到AD的距離及tanα的值．
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)所經(jīng)過(guò)的路程為x（6≤x≤12）．試問(wèn)：x為何值時(shí)，△ADN為等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）①三角形ABN和ADN中，不難得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共邊，根據(jù)SAS即可判定兩三角形全等．
②通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求解．作MH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．由（1）可得∠MDA=∠ABN，那么M到AD的距離和∠α就轉(zhuǎn)化到直角三角形MDH和MAH中，然后根據(jù)已知條件進(jìn)行求解即可．
（2）本題要分三種情況即：ND=NA，DN=DA，AN=AD進(jìn)行討論．
解答：解：（1）①證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN（SAS）．
②作MH⊥DA交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．
由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM•sin60°=4×sin60°=2．
∴點(diǎn)M到AD的距離為2．
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
∴tanα=；

（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三種情形：
（Ⅰ）若ND=NA，則∠ADN=∠NAD=45°．
此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，則∠DNA=∠DAN=45°．
此時(shí)，點(diǎn)M恰好與點(diǎn)C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，則∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∵AC=6．
∴CM=CN=AC-AN=6-6．
故x=12-CM=12-（6-6）=18-6．
綜上所述：當(dāng)x=6或12或18-6時(shí)，△ADN是等腰三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，注意本題（2）中要分三種情況進(jìn)行討論，不要丟掉任何一種情況．