Question

已知，如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，延長AD到點E，連接BE、CE，∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列結論：①△ABD為等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正確的結論個數(shù)有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

C
分析：可根據(jù)證△ABF≌△△ADF推出AB=AD，得出△ABD為等腰三角形；可根據(jù)同弦所對的圓周角相等點A、B、C、E共圓，可判出BE=CE=CD，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，可判出AE=AC；求出∠7=90°-∠2，根據(jù)∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分線．
解答：作AF平分∠BAD，
∵∠BAD=∠3，∠ABD+∠3=90°，
∴∠BAF=∠3=∠DAF，
∴∠ABF+∠BAF=90°
∴∠AFB=∠AFD=90°，
在△BAF和△DAF中

∴△ABF≌△△ADF（ASA），
∴AB=AD，∴①正確；
∵∠BAD=∠2=∠3，
∴點A、B、E、C在同一個圓上，
∴∠BAE=∠4=∠3，∠，ABC=∠6，
∴BE=CE，
∵∠5=∠ADB=∠ABD，∠BAE=∠4，
∴∠5=∠6，
∴CE=CD，
即CD=CE=BE，∴③正確；
∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°-∠2．
∴∠ACE=180°-∠6-∠2=90°-∠2，
∴∠ACE=∠6，
∴AE=CE，∴②正確
∵∠5=∠2+∠7=90°-∠2，
∴∠7=90°-∠2，
∵∠BAD=∠4=∠2，
∴∠4≠∠7，∴④錯誤；
故選C．
點評：本題考查了等腰三角形的判定，四點共圓，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理的應用，主要考查學生的推理能力，有一定的難度．