Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過點A（-1，0），B（3，0）其頂點為D，連接BD，點P是線段BD上一個動點（不與B，D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為E連接BE．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；
（2）如果點P的坐標為（x，y），△PBE的面積為S，求S與x的函數(shù)關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；
（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，過點P作x軸的垂線，垂足為F，連接EF在這條拋物線上是否存在一點Q，使得直線EF為線段PQ的垂直平分線？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題需先根據(jù)拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過（-1，0）B（3，0）兩點，分別求出a、b的值，再代入拋物線y=ax²+bx+3即可求出它的解析式．
（2）本題首先設出BD解析式y(tǒng)=kx+b，再把B、D兩點坐標代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據(jù)面積公式即可求出最大值．
（3）本題需先根據(jù)（2）得出最大值來，求出點P的坐標，得出四邊形PEOF是矩形，再作點P關于直線EF的對稱點P′設出MC=m，則MF=m．從而得出P′M與P′E的值，根據(jù)勾股定理，得出m的值，再由△EHP′∽△EP′M，得出EH和OH的值，最后求出P′的坐標，判斷出不在拋物線上．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經過點A（-1，0），B（3，0），
∴解得，
拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴y=-（x-1）²+4，
∴D（1，4）；

（2）設BD的解析式為y=kx+b，則有
解得，
∴BD的解析式為：y=-2x+6，
∵P的坐標為（x，y），
∴P的坐標為（x，-2x+6），
∴PE=x，
∴S=，
∴S=-x²+3x   （1＜x＜3），
S=-（x-）²+，
∴S的最大值為．

（3）不存在．
當x=時，y=-2×+6=3，
∴P（，3），
∴PF=3
∴四邊形PEOF是矩形．
作點P關于直線EF的對稱點P′，連接P′E，P′F．
過P′作P′H⊥y軸于H，P′F交y軸于點M，
設MC=m，則MF=m，P′M=3-m，P′E=，
在Rt△P′MC中，由勾股定理，
（ ）²+（3-m）²=m²，
解得m=，
∴MF=MC=，P′M=
∵△P′CM∽△HEP′
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=，
由△EHP′∽△EP′M，
可得 EH：EP′=EP′：EM，EH=．
∴OH=3-=．
∴P′坐標（-，）．
將x=-代入拋物線的解析式，得y=≠
∴不在拋物線上．
點評：本題考查了運用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；根據(jù)二次函數(shù)的解析式求得函數(shù)的最值；勾股定理、相似三角形的性質進行計算，注意數(shù)形結合的思想．