Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，AE平分∠CAB分別交CD，CB于F，E，過點F作FH∥BC交AB于H，F(xiàn)G∥AB交BC于G．
（1）求證：CF=CE；
（2）試探究線段CE與BG有何數(shù)量關系？并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）證明如下：
∵∠ACB=90°，CD為AB邊上的高，
∴∠CAE+∠CEA=90°，∠FAD+∠AFD=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠AFD=∠AEC，
又∵∠AFD=∠CFE（對頂角相等），
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE．

（2）CE=BG．證明如下：
∵FH∥BC，F(xiàn)G∥AB，∴BGFH是平行四邊形，則BG=FH①，
∵∠AFC=∠FCE+∠CEF，∠AFH=∠AFD+∠DFH，
又∵∠CFE=∠CEF=∠AFD（第一問已證），∠FCE=∠DFH（兩直線平行，同位角相等），
∴∠AFC=∠AFH，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAF=∠FAH，
在△CFA和△HFA中，
∵，
∴△CFA≌△HFA（AAS），
∴CF=HF，②
由①②和（1）中的結論，可得CE=BG．
分析：（1）要得到CE=CF證明∠CFE=∠CEF即可，據(jù)已知條件∠CAE+∠CEA=90°，∠FAD+∠AFD=90°，因為AE平分∠CAB，所以∠AFD=∠AEC；因為∠AFD=∠CFE，即可得∠CFE=∠CEF，即得結論CF=CE．
（2）由條件可知BGFH是平行四邊形，則BG=FH，如能證得△CFA≌△HFA，能得到CF=HF，利用（1）中結論，即可得CE=BG．尋找證得△CFA≌△HFA的條件即可得解．
點評：本題主要考查全等三角形的判定，涉及到直角三角形，等腰三角形、平行線等的性質，是一道綜合性題目，比較復雜．