Question

（2013•湛江）如圖，已知AB是⊙O的直徑，P為⊙O外一點(diǎn)，且OP∥BC，∠P=∠BAC．
（1）求證：PA為⊙O的切線；
（2）若OB=5，OP=

25

3

，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）欲證明PA為⊙O的切線，只需證明OA⊥AP；
（2）通過(guò)相似三角形△ABC∽△PAO的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求線段AC的長(zhǎng)度．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°．
又∵OP∥BC，
∴∠AOP=∠B，
∴∠BAC+∠AOP=90°．
∵∠P=∠BAC．
∴∠P+∠AOP=90°，
∴由三角形內(nèi)角和定理知∠PAO=90°，即OA⊥AP．
又∵OA是的⊙O的半徑，
∴PA為⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，∠PAO=90°．∵OB=5，
∴OA=OB=5．
又∵OP=

25

3

，
∴在直角△APO中，根據(jù)勾股定理知PA=

PO2-OA2

=

20

3

，
由（1）知，∠ACB=∠PAO=90°．
∵∠BAC=∠P，
∴△ABC∽△POA，
∴

AB

PO

=

AC

PA

．
∴

10

25 3

=

AC

20 3

，
解得AC=8．即AC的長(zhǎng)度為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有切線的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，得到兩個(gè)三角形中的兩組對(duì)應(yīng)角相等，進(jìn)而得到兩個(gè)三角形相似，是解答（2）題的關(guān)鍵．