Question

（1）如圖，要在一塊形狀為直角三角形（∠C為直角）的鐵皮上裁出一個(gè)半圓形的鐵皮，需先在這塊鐵皮上畫(huà)出一個(gè)半圓，使它的圓心O在線段AC上，且與AB、BC都相切．請(qǐng)你用直尺和圓規(guī)畫(huà)出來(lái)（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)作法）．
（2）若AC=3，BC=4，求上述半圓的直徑．

Answer 1

分析：（1）由于⊙O與BC、AB都相切，即O到AB、BC的距離相等，因此點(diǎn)O必為∠ABC的角平分線與線段AC的交點(diǎn)，可據(jù)此進(jìn)行作圖．
（2）設(shè)⊙O與AB的切點(diǎn)為D，由勾股定理易求得AB的值，根據(jù)切線長(zhǎng)定理知：BC=BD，即可求得AD的長(zhǎng)，設(shè)出⊙O的半徑，并表示出OA、OD的長(zhǎng)，在Rt△OAD中，根據(jù)勾股定理即可求得⊙O的半徑，進(jìn)而可得⊙O的直徑．（此題解法較多，只要能求出結(jié)果即可）

解答：解：（1）作出角平分線得（1分），作出半圓再得（1分），小結(jié)（1分），共（3分）．

（2）方法一：
解：設(shè)半⊙O切BA于點(diǎn)D；
∵AC=3，BC=4，
∴AB=

32+42

=5；（4分）
∵半⊙O切BA、BC于點(diǎn)D、C，
∴BD=BC=4，
∴AD=AB-BD=1；（5分）
又∵AB與⊙O相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥AB，∴∠ADO=90°；
設(shè)半⊙O的半徑為r，在Rt△ADO中，由勾股定理得AD²+OD²=OA²，
即1²+r²=（3-r）²（7分）
解得r=

4

3

，2r=

8

3

，
∴半⊙O的直徑等于

8

3

．（8分）
方法二：同一，證得∠ADO=90°，∵∠ACB=90°，
∴∠ADO=∠ACB，
∵∠A=∠A，
∴△ADO∽△ACB，
∴

AD

AC

=

OD

BC

，
即

1

3

=

r

4

，解得r=

4

3

，
∴半⊙O的直徑等于

8

3

．
方法三：同一，證得∠ADO=90°，
∵S△ABO=

1

2

AB•OD=

1

2

AO•BC，
∴AB•OD=AO•BC，
即5r=4（3-r），
解得r=

4

3

，
∴半⊙O的直徑等于

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了角平行的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，難度適中．